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（本小題滿分12分）正在執(zhí)行護(hù)航任務(wù)的某導(dǎo)彈護(hù)衛(wèi)艦，突然收到一艘商船的求救信號，緊急前往相關(guān)海域．如圖所示，到達(dá)相關(guān)海域處后發(fā)現(xiàn)，在南偏西、5海里外的洋面M處有一條海盜船，它正以每小時20海里的速度向南偏東的方向逃竄．某導(dǎo)彈護(hù)衛(wèi)艦當(dāng)即施放載有突擊隊員的快艇進(jìn)行攔截，快艇以每小時30海里的速度向南偏東的方向全速追擊．請問：快艇能否追上海盜船？如果能追上，請求出的值；如果未能追上，請說明理由．

（本小題滿分12分）正在執(zhí)行護(hù)航任務(wù)的某導(dǎo)彈護(hù)衛(wèi)艦，突然收到一艘商船的求救信號，緊急前往相關(guān)海域．如圖所示，到達(dá)相關(guān)海域處后發(fā)現(xiàn)，在南偏西、5海里外的洋面M處有一條海盜船，它正以每小時20海里的速度向南偏東的方向逃竄．某導(dǎo)彈護(hù)衛(wèi)艦當(dāng)即施放載有突擊隊員的快艇進(jìn)行攔截，快艇以每小時30海里的速度向南偏東的方向全速追擊．請問：快艇能否追上海盜船？如果能追上，請求出的值；如果未能追上，請說明理由．

已知遞增等差數(shù)列滿足：，且成等比數(shù)列．

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）若不等式對任意恒成立，試猜想出實數(shù)的最小值，并證明．

【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項公式的運(yùn)用以及數(shù)列求和的運(yùn)用。第一問中，利用設(shè)數(shù)列公差為，

由題意可知，即，解得d，得到通項公式，第二問中，不等式等價于，利用當(dāng)時，；當(dāng)時，；而，所以猜想，的最小值為然后加以證明即可。

解：（1）設(shè)數(shù)列公差為，由題意可知，即，

解得或（舍去）．      …………3分

所以，．        …………6分

（2）不等式等價于，

當(dāng)時，；當(dāng)時，；

而，所以猜想，的最小值為．     …………8分

下證不等式對任意恒成立．

方法一：數(shù)學(xué)歸納法．

當(dāng)時，，成立．

假設(shè)當(dāng)時，不等式成立，

當(dāng)時，， …………10分

只要證  ，只要證  ，

只要證  ，只要證  ，

只要證  ，顯然成立．所以，對任意，不等式恒成立．…14分

方法二：單調(diào)性證明．

要證 

只要證  ，  

設(shè)數(shù)列的通項公式，        …………10分

，    …………12分

所以對，都有，可知數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列．

而，所以恒成立，

故的最小值為．

 已知函數(shù)，是的一個零點(diǎn)，又在 處有極值，在區(qū)間和上是單調(diào)的，且在這兩個區(qū)間上的單調(diào)性相反．（1）求的取值范圍；（2）當(dāng)時，求使成立的實數(shù)的取值范圍．

從而    或即或

所以存在實數(shù)，滿足題目要求.……………………12分