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給定橢圓，稱圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓是橢圓Ｃ的“準(zhǔn)圓”.若橢圓C的一個焦點(diǎn)為，其短軸上的一個端點(diǎn)到Ｆ的距離為．

（Ⅰ）求橢圓Ｃ的方程和其“準(zhǔn)圓”方程；

（Ⅱ）點(diǎn)P是橢圓C的“準(zhǔn)圓”上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線，使得與橢圓C都只有一個交點(diǎn)，且分別交其“準(zhǔn)圓”于點(diǎn)M，N ．

（1）當(dāng)P為“準(zhǔn)圓”與軸正半軸的交點(diǎn)時，求的方程；

（2）求證：|MN|為定值．

如圖，點(diǎn)A為圓形紙片內(nèi)不同于圓心C的定點(diǎn)，動點(diǎn)M在圓周上，將紙片折起，使點(diǎn)M與點(diǎn)A重合，設(shè)折痕m交線段CM于點(diǎn)N．現(xiàn)將圓形紙片放在平面直角坐標(biāo)系xoy中，設(shè)圓C：（x+1）²+y²=4a²（a＞1），A（1，0），記點(diǎn)N的軌跡為曲線E．
（1）證明曲線E是橢圓，并寫出當(dāng)a=2時該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線l過點(diǎn)C和橢圓E的上頂點(diǎn)B，點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為點(diǎn)Q，若橢圓E的離心率e∈[

1

2

，

3

2

]，求點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)的取值范圍．

已知函數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)時，判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；

（Ⅱ）若函數(shù)與的圖象有兩個不同的交點(diǎn)，求的取值范圍；

（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)是函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，平行于的切線以為切點(diǎn)，求證：．

 

如圖，橢圓為橢圓的左、右頂點(diǎn)．

（1）設(shè)為橢圓的左焦點(diǎn)，證明：當(dāng)且僅當(dāng)橢圓上的點(diǎn)在橢圓的左、右頂點(diǎn)時，取得最小值與最大值；

（2）若橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為l，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（3）若直線與（2）中所述橢圓相交于、兩點(diǎn)（、不是左右頂點(diǎn)），且滿是，求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．