題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù)
．
（Ⅰ）求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)
，若對任意
，
，不等式
恒成立，求實數(shù)
的取值范圍．
【解析】第一問利用
的定義域是
由x>0及
得1<x<3；由x>0及
得0<x<1或x>3，
故函數(shù)
的單調(diào)遞增區(qū)間是（1,3）；單調(diào)遞減區(qū)間是
第二問中，若對任意
不等式
恒成立，問題等價于
只需研究最值即可。
解： （I）的定義域是 ．．．．．．1分
．．．．．．．．．．．．． 2分
由x>0及 得1<x<3；由x>0及得0<x<1或x>3，
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（1,3）；單調(diào)遞減區(qū)間是 ．．．．．．．．4分
（II）若對任意不等式恒成立，
問題等價于，
．．．．．．．．．5分
由（I）可知，在
上，x=1是函數(shù)極小值點，這個極小值是唯一的極值點，
故也是最小值點，所以
； ．．．．．．．．．．．．6分
當(dāng)b<1時，
；
當(dāng)
時，
；
當(dāng)b>2時，
；
．．．．．．．．．．．．8分
問題等價于
．．．．．．．．11分
解得b<1 或
或 
即
，所以實數(shù)b的取值范圍是
已知命題
及其證明：
（1）當(dāng)
時，左邊＝1，右邊＝
所以等式成立；
（2）假設(shè)
時等式成立，即
成立，
則當(dāng)
時，
，所以時等式也成立。
由（1）（2）知，對任意的正整數(shù)n等式都成立。
經(jīng)判斷以上評述
A．命題、推理都正確 B命題不正確、推理正確
C．命題正確、推理不正確 D命題、推理都不正確
在數(shù)列
中，
記
（Ⅰ）求
、
、
、
并推測
；
（Ⅱ）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.
【解析】第一問利用遞推關(guān)系可知，
、
、
、
，猜想可得
第二問中，①當(dāng)
時，
=
，又，猜想正確
②假設(shè)當(dāng)
時猜想成立，即
，
當(dāng)
時，
=
=
，即當(dāng)時猜想也成立
兩步驟得到。
（2）①當(dāng)時，=，又，猜想正確
②假設(shè)當(dāng)時猜想成立，即，
當(dāng)時，
=
=，即當(dāng)時猜想也成立
由①②可知，對于任何正整數(shù)
都有成立
教材中是用“A
B且B
A，則A＝B”來定義的，實際上也可以說當(dāng)集合A與B的元素完全相同時，則A________B．教材中的定義實際上給出了一種證明兩個集合相等的方法，即欲證A＝B，只需證AB與BA都成立即可．
已知函數(shù)
．（
）
（1）若
在區(qū)間
上單調(diào)遞增，求實數(shù)
的取值范圍；
（2）若在區(qū)間
上，函數(shù)的圖象恒在曲線
下方，求的取值范圍．
【解析】第一問中，首先利用在區(qū)間上單調(diào)遞增，則
在區(qū)間上恒成立，然后分離參數(shù)法得到
，進而得到范圍；第二問中，在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在曲線下方等價于
在區(qū)間上恒成立．然后求解得到。
解：（1）在區(qū)間上單調(diào)遞增，
則在區(qū)間上恒成立． …………3分
即，而當(dāng)
時，
，故
．
…………5分
所以
．
…………6分
（2）令
，定義域為
．
在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在曲線下方等價于在區(qū)間上恒成立．
∵
…………9分
① 若
，令
，得極值點
，
，
當(dāng)
，即
時，在（
，+∞)上有
，此時
在區(qū)間
上是增函數(shù)，并且在該區(qū)間上有
，不合題意；
當(dāng)
，即
時，同理可知，在區(qū)間上遞增，
有
，也不合題意；
…………11分
② 若
，則有
，此時在區(qū)間上恒有
，從而在區(qū)間上是減函數(shù)；
要使在此區(qū)間上恒成立，只須滿足
，
由此求得的范圍是
． …………13分
綜合①②可知，當(dāng)
時，函數(shù)的圖象恒在直線下方．
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