題目列表(包括答案和解析)
已知中心在坐標原點，焦點在
軸上的橢圓C；其長軸長等于4,離心率為
．
(Ⅰ)求橢圓C的標準方程;
(Ⅱ)若點
(0,1), 問是否存在直線
與橢圓
交于
兩點,且
？若存在,求出
的取值范圍,若不存在,請說明理由.
【解析】本試題主要考查了橢圓的方程的求解，直線與橢圓的位置關(guān)系的運用。
第一問中，可設(shè)橢圓的標準方程為
則由長軸長等于4,即2a=4,所以a=2．又
,所以
,
又由于
所求橢圓C的標準方程為
第二問中，
假設(shè)存在這樣的直線
,設(shè)
,MN的中點為
因為|ME|=|NE|所以MN
EF所以
(i)其中若
時,則K=0,顯然直線
符合題意;
(ii)下面僅考慮
情形:
由
,得,
,得
代入1,2式中得到范圍。
(Ⅰ) 可設(shè)橢圓的標準方程為
則由長軸長等于4,即2a=4,所以a=2．又,所以,
又由于
所求橢圓C的標準方程為
(Ⅱ) 假設(shè)存在這樣的直線,設(shè),MN的中點為
因為|ME|=|NE|所以MNEF所以
(i)其中若時,則K=0,顯然直線符合題意;
(ii)下面僅考慮情形:
由,得,
,得……② ……………………9分
則
．
代入①式得,解得
………………………………………12分
代入②式得
,得
．
綜上(i)(ii)可知,存在這樣的直線
,其斜率k的取值范圍是
已知函數(shù)
的圖象過坐標原點O,且在點
處的切線的斜率是
.
（Ⅰ）求實數(shù)
的值；
（Ⅱ）求
在區(qū)間
上的最大值；
（Ⅲ）對任意給定的正實數(shù)
，曲線
上是否存在兩點P、Q，使得
是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在
軸上？說明理由.
【解析】第一問當(dāng)
時，
，則
。
依題意得：
，即
解得
第二問當(dāng)
時，
，令
得
，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和函數(shù)之間的關(guān)系得到單調(diào)性的判定，得到極值和最值
第三問假設(shè)曲線上存在兩點P、Q滿足題設(shè)要求，則點P、Q只能在軸兩側(cè)。
不妨設(shè)
，則
，顯然
∵是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，∴
即
（*）若方程（*）有解，存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q；
若方程（*）無解，不存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q.
（Ⅰ）當(dāng)時，，則。
依題意得：，即 解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
①當(dāng)時，，令得
當(dāng)
變化時，
的變化情況如下表：
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
— |
0 |
+ |
0 |
— |
|
|
|
極小值 |
單調(diào)遞增 |
極大值 |
|
又
，
，
�！�在
上的最大值為2.
②當(dāng)
時, 
.當(dāng)
時, 
,最大值為0；
當(dāng)
時, 在
上單調(diào)遞增�！�在最大值為
。
綜上，當(dāng)
時，即
時，在區(qū)間上的最大值為2；
當(dāng)
時，即
時，在區(qū)間上的最大值為。
（Ⅲ）假設(shè)曲線上存在兩點P、Q滿足題設(shè)要求，則點P、Q只能在軸兩側(cè)。
不妨設(shè)，則，顯然
∵是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，∴
即 （*）若方程（*）有解，存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q；
若方程（*）無解，不存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q.
若
，則
代入（*）式得：
即
，而此方程無解，因此
。此時
，
代入（*）式得： 
即
（**）
令
，則
∴
在
上單調(diào)遞增， ∵ ∴
,∴
的取值范圍是
。
∴對于，方程（**）總有解，即方程（*）總有解。
因此，對任意給定的正實數(shù)，曲線上存在兩點P、Q，使得是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上
如圖，已知直線
（
）與拋物線
：
和圓
：
都相切，
是的焦點．
（Ⅰ）求
與
的值；
（Ⅱ）設(shè)
是上的一動點，以為切點作拋物線的切線
，直線交
軸于點
，以
、
為鄰邊作平行四邊形
，證明：點
在一條定直線上；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，記點所在的定直線為
， 直線與軸交點為
，連接
交拋物線于
、
兩點，求△
的面積
的取值范圍．
【解析】第一問中利用圓：
的圓心為
，半徑
．由題設(shè)圓心到直線的距離
．
即
，解得
（
舍去）
設(shè)
與拋物線的相切點為
，又
，得
，
．
代入直線方程得：
，∴
所以，
第二問中，由（Ⅰ）知拋物線方程為
，焦點
． ………………（2分）
設(shè)
，由（Ⅰ）知以為切點的切線的方程為
．
令
，得切線交軸的點坐標為
所以
，
， ∵四邊形FAMB是以FA、FB為鄰邊作平行四邊形
∴
因為是定點，所以點在定直線
第三問中，設(shè)直線
，代入
得
結(jié)合韋達定理得到。
解：（Ⅰ）由已知，圓：
的圓心為，半徑．由題設(shè)圓心到直線的距離．
即，解得（舍去）． …………………（2分）
設(shè)與拋物線的相切點為，又，得，．
代入直線方程得：，∴
所以，．
……（2分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知拋物線方程為，焦點． ………………（2分）
設(shè)，由（Ⅰ）知以為切點的切線的方程為．
令，得切線交軸的點坐標為
所以，， ∵四邊形FAMB是以FA、FB為鄰邊作平行四邊形，
∴ 因為是定點，所以點在定直線上．…（2分）
（Ⅲ）設(shè)直線，代入得， ……）得
，
…………………………… （2分）
，
．
△的面積范圍是
已知中心在原點O，焦點F1、F2在x軸上的橢圓E經(jīng)過點C（2，2），且拋物線
的焦點為F1.
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）垂直于OC的直線l與橢圓E交于A、B兩點，當(dāng)以AB為直徑的圓P與y軸相切時，求直線l的方程和圓P的方程.
【解析】本試題主要考查了橢圓的方程的求解以及直線與橢圓的位置關(guān)系的運用。第一問中，設(shè)出橢圓的方程，然后結(jié)合拋物線的焦點坐標得到
，又因為
，這樣可知得到
。第二問中設(shè)直線l的方程為y=-x+m與橢圓聯(lián)立方程組可以得到
，再利用
可以結(jié)合韋達定理求解得到m的值和圓p的方程。
解：(Ⅰ)設(shè)橢圓E的方程為
①………………………………1分
②………………２分
③ 由①、②、③得a2=12,b2=6…………3分
所以橢圓E的方程為…………………………4分
(Ⅱ)依題意，直線OC斜率為1，由此設(shè)直線l的方程為y=-x+m，……………5分
代入橢圓E方程，得…………………………6分
………………………7分
、
………………8分
………………………9分
……………………………10分
當(dāng)m=3時，直線l方程為y=-x+3，此時，x1 +x2=4，圓心為（2，1），半徑為2，
圓P的方程為（x-2）2+(y-1)2=4；………………………………11分
同理，當(dāng)m=－3時，直線l方程為y=-x－3，
圓P的方程為（x+2）2+(y+1)2=4
已知向量
（
），向量
，
，
且
.
（Ⅰ）求向量
；
（Ⅱ）若
，
，求
.
【解析】本試題主要考查了向量的數(shù)量積的運算，以及兩角和差的三角函數(shù)關(guān)系式的運用。
（1）問中∵，∴
，…………………1分
∵
，得到三角關(guān)系是
，結(jié)合
，解得。
（2）由，解得
，
，結(jié)合二倍角公式
，和
,代入到兩角和的三角函數(shù)關(guān)系式中就可以求解得到。
解析一：（Ⅰ）∵，∴，…………1分
∵，∴
，即 ① …………2分
又 ② 由①②聯(lián)立方程解得，
，
5分
∴
……………6分
（Ⅱ）∵即，， …………7分
∴，
………8分
又∵， ………9分
， ……10分
∴
．
解法二: (Ⅰ)
，…………………………………1分
又
，∴
，即
，①……2分
又 ②
將①代入②中，可得
③ …………………4分
將③代入①中，得
……………………………………5分
∴
…………………………………6分
(Ⅱ) 方法一
∵
,，∴
，且
……7分
∴
，從而
. …………………8分
由(Ⅰ)知
，
； ………………9分
∴
. ………………………………10分
又∵
，∴
，
又，∴
……11分
綜上可得 
………………………………12分
方法二∵,，∴，且…………7分
∴.
……………8分
由(Ⅰ)知
，
.
…………9分
∴
……………10分
∵，且注意到
，
∴
，又，∴
………………………11分
綜上可得 …………………12分
（若用
，又∵ ∴ ，
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單調(diào)遞減