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(Ⅱ)已知圓,直線.試證明:當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí).直線與圓恒相交.并求直線被圓所截得弦長(zhǎng)的取值范圍. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM、kPN時(shí)，那么kPM與kPN之積是與點(diǎn)P位置無(wú)關(guān)的定值．試對(duì)雙曲線C′：
x2
a2
-
y2
b2
=1寫(xiě)出具有類(lèi)似特性的性質(zhì)，并加以證明．

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已知點(diǎn)E、F的坐標(biāo)分別是（-2，0）、（2，0），直線EP、FP相交于點(diǎn)P，且它們的斜率之積為-
1
4
．
（1）求證：點(diǎn)P的軌跡在一個(gè)橢圓C上，并寫(xiě)出橢圓C的方程；
（2）設(shè)過(guò)原點(diǎn)O的直線AB交（1）中的橢圓C于點(diǎn)A、B，定點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1，
1
2
)，試求△MAB面積的最大值，并求此時(shí)直線AB的斜率kAB；
（3）反思（2）題的解答，當(dāng)△MAB的面積取得最大值時(shí)，探索（2）題的結(jié)論中直線AB的斜率kAB和OM所在直線的斜率kOM之間的關(guān)系．由此推廣到點(diǎn)M位置的一般情況或橢圓的一般情況（使第（2）題的結(jié)論成為推廣后的一個(gè)特例），試提出一個(gè)猜想或設(shè)計(jì)一個(gè)問(wèn)題，嘗試研究解決．
[說(shuō)明：本小題將根據(jù)你所提出的猜想或問(wèn)題的質(zhì)量分層評(píng)分]．

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已知直線過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F，拋物線：的焦點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)，且直線交橢圓于、兩點(diǎn)，點(diǎn)、F、 在直線上的射影依次為點(diǎn)、、.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線交y軸于點(diǎn)，且，當(dāng)變化時(shí)，探求 的值是否為定值？若是，求出的值，否則，說(shuō)明理由；

（3）連接、，試探索當(dāng)變化時(shí)，直線與是否相交于定點(diǎn)？若是，請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，并給予證明；否則，說(shuō)明理由.

 

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已知直線：x=my+1過(guò)橢圓C：的右焦點(diǎn)F，拋物線：的焦點(diǎn)為橢圓C的上頂點(diǎn)，且直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A、F、B在直線g：x=4上的射影依次為點(diǎn)D、K、E。
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線交y軸于點(diǎn)M，且，當(dāng)m變化時(shí)，探求的值是否為定值？若是，求出的值；否則，說(shuō)明理由；
（3）連接AE、BD，試探索當(dāng)m變化時(shí)，直線AE與BD是否相交于定點(diǎn)？若是，請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，并給予證明；否則，說(shuō)明理由。

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已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C：+=1（a＞b＞0）上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM、kPN時(shí)，那么kPM與kPN之積是與點(diǎn)P位置無(wú)關(guān)的定值．試對(duì)雙曲線C′：-=1寫(xiě)出具有類(lèi)似特性的性質(zhì)，并加以證明．

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    2009.3

一、選擇題

（1）B  （2）A  （3）B （4）C （5）B （6）D

（7）D   （8）C  （9）C （10）B （11）A （12）C

二、填空題

      
   
      
    
    
      
    
      1,3,5
      三、解答題
      （17）解:（Ⅰ）-            
---------------------------2分
      高三年級(jí)人數(shù)為-------------------------3分
      現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取48名學(xué)生，應(yīng)在高三年級(jí)抽取的人數(shù)為
      (人).                      
--------------------------------------6分
      （Ⅱ）設(shè)“高三年級(jí)女生比男生多”為事件，高三年級(jí)女生、男生數(shù)記為.
      由（Ⅰ）知且
      則基本事件空間包含的基本事件有
      共11個(gè),    
------------------------------9分
      事件包含的基本事件有
      共5個(gè)    
                     
--------------------------------------------------------------11分
      答：高三年級(jí)女生比男生多的概率為.  …………………………………………12分
      （18）解：（Ⅰ）  …………2分
      在中，由于，
                                              …………3分
      又，
                              
      又，所以，而，因此.…………6分
         （Ⅱ）由，
      由正弦定理得                                …………8分
      ，
      即，由（Ⅰ）知，所以    …………10分
      由余弦弦定理得 ，     …………11分
      ，
                  
                                  …………12分
      （19）（Ⅰ）證明：∵、分別為、的中點(diǎn)，∴.
           又∵平面平面
      ∴平面                                        
…………4分
      （Ⅱ）∵，，∴平面.
      又∵，∴平面.
      ∵平面,∴平面平面.              
…………8分
      （Ⅲ）∵平面，∴是三棱錐的高.
      在Rt△中，.
          在Rt△中，.
       ∵，是的中點(diǎn)，
      ∴,
      故.        ………………12分
      （20）解：（Ⅰ）依題意得
                                  
…………2分 
       解得，                                            
…………4分
      .       …………6分
         （Ⅱ）由已知得，                 
…………8分
                                                              
………………12分
      （21）解：（Ⅰ）
            令=0,得                       
………2分
      因?yàn)?sub>，所以可得下表：
      0
      +
      0
      -
      ㄊ
      極大
      ㄋ
               
                                                ………………4分
      因此必為最大值,∴，因此， 
           ，
          即，∴，
       ∴                                       ……………6分
      （Ⅱ）∵，∴等價(jià)于， ………8分
       令，則問(wèn)題就是在上恒成立時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍，為此只需，即，                
…………10分
      解得，所以所求實(shí)數(shù)的取值范圍是[0，1].           
………………12分
      （22）解:（Ⅰ）由得，，
      所以直線過(guò)定點(diǎn)（3，0），即.                      
…………………2分
       設(shè)橢圓的方程為, 
      則,解得，
      所以橢圓的方程為.                   
……………………5分
      （Ⅱ）因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng),所以，      ………………6分
      從而圓心到直線的距離
      所以直線與圓恒相交.                            
……………………9分
      又直線被圓截得的弦長(zhǎng)
      ，      
…………12分
      由于,所以,則,
      即直線被圓截得的弦長(zhǎng)的取值范圍是.  …………………14分