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如圖，在中，為邊上的中線，為上任意一點，交于點.求證：．

【解析】本試題主要是考查了平面幾何中相似三角形性質(zhì)的運用。根據(jù)已知條件，首先做輔助線，然后利用平行性得到相似比，，，然后得到比例相等。充分利用比值問題轉(zhuǎn)化得到結論。

證明：過作，交于，∴，，

∴， ，   ∵為的中點，，

，，，即．

在中，是三角形的三內(nèi)角，是三內(nèi)角對應的三邊，已知成等差數(shù)列，成等比數(shù)列

（Ⅰ）求角的大��；

（Ⅱ）若，求的值.

【解析】第一問中利用依題意且，故

第二問中，由題意又由余弦定理知

，得到，所以，從而得到結論。

（1）依題意且，故……………………6分

（2）由題意又由余弦定理知

…………………………9分

即   故

           代入得

如圖，三棱柱中，側(cè)棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA₁，D是棱AA₁的中點。

(Ｉ) 證明：平面⊥平面

（Ⅱ）平面分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比.

【命題意圖】本題主要考查空間線線、線面、面面垂直的判定與性質(zhì)及幾何體的體積計算，考查空間想象能力、邏輯推理能力，是簡單題.

【解析】（Ⅰ）由題設知BC⊥,BC⊥AC，,∴面,    又∵面，∴,

由題設知,∴=,即,

又∵,   ∴⊥面,    ∵面，

∴面⊥面；

（Ⅱ）設棱錐的體積為，=1，由題意得，==，

由三棱柱的體積=1，

∴=1:1，  ∴平面分此棱柱為兩部分體積之比為1:1

近年來，某市為了促進生活垃圾的分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類，并分別設置了相應的垃圾箱。為調(diào)查居民生活垃圾分類投放情況，現(xiàn)隨機抽取了該市三類垃圾箱中總計1000噸生活垃圾，數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下（單位：噸）：

（Ⅰ）試估計廚余垃圾投放正確的概率

（Ⅱ）試估計生活垃圾投放錯誤的概率

（Ⅲ）假設廚余垃圾在“廚余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分別為a,b,c,其中a>0，a+b+c=600.當數(shù)據(jù)a,b,c,的方差最大時，寫出a,b,c的值（結論不要求證明），并求此時的值。

（注：，其中為數(shù)據(jù)的平均數(shù)）

【解析】（1）廚余垃圾投放正確的概率約為

（2）設生活垃圾投放錯誤為事件A，則事件表示生活垃圾投放正確。事件的概率約為“廚余垃圾”箱里廚余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量與“其他垃圾”箱里其他垃圾量的總和除以生活垃圾總量，即約為，所以約為

（3）當時，方差取得最大值，因為，

所以

近年來，某市為了促進生活垃圾的分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類，并分別設置了相應的垃圾箱。為調(diào)查居民生活垃圾分類投放情況，現(xiàn)隨機抽取了該市三類垃圾箱中總計1000噸生活垃圾，數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下（單位：噸）：

（Ⅰ）試估計廚余垃圾投放正確的概率

（Ⅱ）試估計生活垃圾投放錯誤的概率

（Ⅲ）假設廚余垃圾在“廚余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分別為a,b,c,其中a>0，a+b+c=600.當數(shù)據(jù)a,b,c,的方差最大時，寫出a,b,c的值（結論不要求證明），并求此時的值。

（注：，其中為數(shù)據(jù)的平均數(shù)）

【解析】（1）廚余垃圾投放正確的概率約為

（2）設生活垃圾投放錯誤為事件A，則事件表示生活垃圾投放正確。事件的概率約為“廚余垃圾”箱里廚余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量與“其他垃圾”箱里其他垃圾量的總和除以生活垃圾總量，即約為，所以約為

（3）當時，方差取得最大值，因為，

所以