題目列表(包括答案和解析)
第六部分 振動和波
第一講 基本知識介紹
《振動和波》的競賽考綱和高考要求有很大的不同，必須做一些相對詳細(xì)的補(bǔ)充。
一、簡諧運(yùn)動
1、簡諧運(yùn)動定義：
= －k
①
凡是所受合力和位移滿足①式的質(zhì)點(diǎn)，均可稱之為諧振子，如彈簧振子、小角度單擺等。
諧振子的加速度：
= －
2、簡諧運(yùn)動的方程
回避高等數(shù)學(xué)工具，我們可以將簡諧運(yùn)動看成勻速圓周運(yùn)動在某一條直線上的投影運(yùn)動（以下均看在x方向的投影），圓周運(yùn)動的半徑即為簡諧運(yùn)動的振幅A 。
依據(jù)：
x = －mω2Acosθ= －mω2
對于一個給定的勻速圓周運(yùn)動，m、ω是恒定不變的，可以令：
mω2 = k
這樣，以上兩式就符合了簡諧運(yùn)動的定義式①。所以，x方向的位移、速度、加速度就是簡諧運(yùn)動的相關(guān)規(guī)律。從圖1不難得出——
位移方程：
= Acos(ωt + φ) ②
速度方程：
= －ωAsin(ωt +φ) ③
加速度方程：
= －ω2A cos(ωt +φ) ④
相關(guān)名詞：(ωt +φ)稱相位，φ稱初相。
運(yùn)動學(xué)參量的相互關(guān)系：
= －ω2
A = 
tgφ= －
3、簡諧運(yùn)動的合成
a、同方向、同頻率振動合成。兩個振動x1 = A1cos(ωt +φ1)和x2 = A2cos(ωt +φ2) 合成，可令合振動x = Acos(ωt +φ) ，由于x = x1 + x2 ，解得
A = 
，φ= arctg 
顯然，當(dāng)φ2－φ1 = 2kπ時（k = 0，±1，±2，…），合振幅A最大，當(dāng)φ2－φ1 = （2k + 1）π時（k = 0，±1，±2，…），合振幅最小。
b、方向垂直、同頻率振動合成。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)同時參與兩個垂直的振動x = A1cos(ωt + φ1)和y = A2cos(ωt + φ2)時，這兩個振動方程事實(shí)上已經(jīng)構(gòu)成了質(zhì)點(diǎn)在二維空間運(yùn)動的軌跡參數(shù)方程，消去參數(shù)t后，得一般形式的軌跡方程為
+
－2
cos(φ2－φ1) = sin2(φ2－φ1)
顯然，當(dāng)φ2－φ1 = 2kπ時（k = 0，±1，±2，…），有y = 
x ，軌跡為直線，合運(yùn)動仍為簡諧運(yùn)動；
當(dāng)φ2－φ1 = （2k + 1）π時（k = 0，±1，±2，…），有
+
= 1 ，軌跡為橢圓，合運(yùn)動不再是簡諧運(yùn)動；
當(dāng)φ2－φ1取其它值，軌跡將更為復(fù)雜，稱“李薩如圖形”，不是簡諧運(yùn)動。
c、同方向、同振幅、頻率相近的振動合成。令x1 = Acos(ω1t + φ)和x2 = Acos(ω2t + φ) ，由于合運(yùn)動x = x1 + x2 ，得：x =（2Acos
t）cos（
t +φ）。合運(yùn)動是振動，但不是簡諧運(yùn)動，稱為角頻率為
的“拍”現(xiàn)象。
4、簡諧運(yùn)動的周期
由②式得：ω= 
，而圓周運(yùn)動的角速度和簡諧運(yùn)動的角頻率是一致的，所以
T = 2π
⑤
5、簡諧運(yùn)動的能量
一個做簡諧運(yùn)動的振子的能量由動能和勢能構(gòu)成，即
= 
mv2 + 
kx2 = 
kA2
注意：振子的勢能是由（回復(fù)力系數(shù)）k和（相對平衡位置位移）x決定的一個抽象的概念，而不是具體地指重力勢能或彈性勢能。當(dāng)我們計量了振子的抽象勢能后，其它的具體勢能不能再做重復(fù)計量。
6、阻尼振動、受迫振動和共振
和高考要求基本相同。
二、機(jī)械波
1、波的產(chǎn)生和傳播
產(chǎn)生的過程和條件；傳播的性質(zhì)，相關(guān)參量（決定參量的物理因素）
2、機(jī)械波的描述
a、波動圖象。和振動圖象的聯(lián)系
b、波動方程
如果一列簡諧波沿x方向傳播，振源的振動方程為y = Acos（ωt + φ），波的傳播速度為v ，那么在離振源x處一個振動質(zhì)點(diǎn)的振動方程便是
y = Acos〔ωt + φ - 
·2π〕= Acos〔ω（t - 
）+ φ〕
這個方程展示的是一個復(fù)變函數(shù)。對任意一個時刻t ，都有一個y（x）的正弦函數(shù)，在x-y坐標(biāo)下可以描繪出一個瞬時波形。所以，稱y = Acos〔ω（t - 
）+ φ〕為波動方程。
3、波的干涉
a、波的疊加。幾列波在同一介質(zhì)種傳播時，能獨(dú)立的維持它們的各自形態(tài)傳播，在相遇的區(qū)域則遵從矢量疊加（包括位移、速度和加速度的疊加）。
b、波的干涉。兩列波頻率相同、相位差恒定時，在同一介質(zhì)中的疊加將形成一種特殊形態(tài)：振動加強(qiáng)的區(qū)域和振動削弱的區(qū)域穩(wěn)定分布且彼此隔開。
我們可以用波程差的方法來討論干涉的定量規(guī)律。如圖2所示，我們用S1和S2表示兩個波源，P表示空間任意一點(diǎn)。
當(dāng)振源的振動方向相同時，令振源S1的振動方程為y1 = A1cosωt ，振源S1的振動方程為y2 = A2cosωt ，則在空間P點(diǎn)（距S1為r1 ，距S2為r2），兩振源引起的分振動分別是
y1′= A1cos〔ω（t ? 
）〕
y2′= A2cos〔ω（t ? 
）〕
P點(diǎn)便出現(xiàn)兩個頻率相同、初相不同的振動疊加問題（φ1 = 
，φ2 = 
），且初相差Δφ= 
（r2 – r1）。根據(jù)前面已經(jīng)做過的討論，有
r2 ? r1 = kλ時（k = 0，±1，±2，…），P點(diǎn)振動加強(qiáng)，振幅為A1 + A2 ；
r2 ? r1 =（2k ? 1）
時（k = 0，±1，±2，…），P點(diǎn)振動削弱，振幅為│A1－A2│。
4、波的反射、折射和衍射
知識點(diǎn)和高考要求相同。
5、多普勒效應(yīng)
當(dāng)波源或者接受者相對與波的傳播介質(zhì)運(yùn)動時，接收者會發(fā)現(xiàn)波的頻率發(fā)生變化。多普勒效應(yīng)的定量討論可以分為以下三種情況（在討論中注意：波源的發(fā)波頻率f和波相對介質(zhì)的傳播速度v是恒定不變的）——
a、只有接收者相對介質(zhì)運(yùn)動（如圖3所示）
設(shè)接收者以速度v1正對靜止的波源運(yùn)動。
如果接收者靜止在A點(diǎn)，他單位時間接收的波的個數(shù)為f ，
當(dāng)他迎著波源運(yùn)動時，設(shè)其在單位時間到達(dá)B點(diǎn)，則
= v1 ，、
在從A運(yùn)動到B的過程中，接收者事實(shí)上“提前”多接收到了n個波
n = 
= 
= 
顯然，在單位時間內(nèi)，接收者接收到的總的波的數(shù)目為：f + n = 
f ，這就是接收者發(fā)現(xiàn)的頻率f1 。即
f1 = 
f
顯然，如果v1背離波源運(yùn)動，只要將上式中的v1代入負(fù)值即可。如果v1的方向不是正對S ，只要將v1出正對的分量即可。
b、只有波源相對介質(zhì)運(yùn)動（如圖4所示）
設(shè)波源以速度v2正對靜止的接收者運(yùn)動。
如果波源S不動，在單位時間內(nèi)，接收者在A點(diǎn)應(yīng)接收f個波，故S到A的距離：
= fλ
在單位時間內(nèi)，S運(yùn)動至S′，即
= v2 。由于波源的運(yùn)動，事實(shí)造成了S到A的f個波被壓縮在了S′到A的空間里，波長將變短，新的波長
λ′= 
= 
= 
= 
而每個波在介質(zhì)中的傳播速度仍為v ，故“被壓縮”的波（A接收到的波）的頻率變?yōu)?/p>
f2 = 
= 
f
當(dāng)v2背離接收者，或有一定夾角的討論，類似a情形。
c、當(dāng)接收者和波源均相對傳播介質(zhì)運(yùn)動
當(dāng)接收者正對波源以速度v1（相對介質(zhì)速度）運(yùn)動，波源也正對接收者以速度v2（相對介質(zhì)速度）運(yùn)動，我們的討論可以在b情形的過程上延續(xù)…
f3 = 
f2 = 
f
關(guān)于速度方向改變的問題，討論類似a情形。
6、聲波
a、樂音和噪音
b、聲音的三要素：音調(diào)、響度和音品
c、聲音的共鳴
第二講 重要模型與專題
一、簡諧運(yùn)動的證明與周期計算
物理情形：如圖5所示，將一粗細(xì)均勻、兩邊開口的U型管固定，其中裝有一定量的水銀，汞柱總長為L 。當(dāng)水銀受到一個初始的擾動后，開始在管中振動。忽略管壁對汞的阻力，試證明汞柱做簡諧運(yùn)動，并求其周期。
模型分析：對簡諧運(yùn)動的證明，只要以汞柱為對象，看它的回復(fù)力與位移關(guān)系是否滿足定義式①，值得注意的是，回復(fù)力
系指振動方向上的合力（而非整體合力）。當(dāng)簡諧運(yùn)動被證明后，回復(fù)力系數(shù)k就有了，求周期就是順理成章的事。
本題中，可設(shè)汞柱兩端偏離平衡位置的瞬時位移為x 、水銀密度為ρ、U型管橫截面積為S ，則次瞬時的回復(fù)力
ΣF = ρg2xS = 
x
由于L、m為固定值，可令：
= k ，而且ΣF與x的方向相反，故汞柱做簡諧運(yùn)動。
周期T = 2π
= 2π
答：汞柱的周期為2π
。
學(xué)生活動：如圖6所示，兩個相同的柱形滾輪平行、登高、水平放置，繞各自的軸線等角速、反方向地轉(zhuǎn)動，在滾輪上覆蓋一塊均質(zhì)的木板。已知兩滾輪軸線的距離為L 、滾輪與木板之間的動摩擦因素為μ、木板的質(zhì)量為m ，且木板放置時，重心不在兩滾輪的正中央。試證明木板做簡諧運(yùn)動，并求木板運(yùn)動的周期。
思路提示：找平衡位置（木板重心在兩滾輪中央處）→ú力矩平衡和Σ?F6= 0結(jié)合求兩處彈力→ú求摩擦力合力…
答案：木板運(yùn)動周期為2π
。
鞏固應(yīng)用：如圖7所示，三根長度均為L = 2.00m地質(zhì)量均勻直桿，構(gòu)成一正三角形框架ABC，C點(diǎn)懸掛在一光滑水平軸上，整個框架可繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動。桿AB是一導(dǎo)軌，一電動松鼠可在導(dǎo)軌上運(yùn)動�，F(xiàn)觀察到松鼠正在導(dǎo)軌上運(yùn)動，而框架卻靜止不動，試討論松鼠的運(yùn)動是一種什么樣的運(yùn)動。
解說：由于框架靜止不動，松鼠在豎直方向必平衡，即：松鼠所受框架支持力等于松鼠重力。設(shè)松鼠的質(zhì)量為m ，即：
N = mg ①
再回到框架，其靜止平衡必滿足框架所受合力矩為零。以C點(diǎn)為轉(zhuǎn)軸，形成力矩的只有松鼠的壓力N、和松鼠可能加速的靜摩擦力f ，它們合力矩為零，即：
MN = Mf
現(xiàn)考查松鼠在框架上的某個一般位置（如圖7，設(shè)它在導(dǎo)軌方向上距C點(diǎn)為x），上式即成：
N·x = f·Lsin60° ②
解①②兩式可得：f = 
x ，且f的方向水平向左。
根據(jù)牛頓第三定律，這個力就是松鼠在導(dǎo)軌方向上的合力。如果我們以C在導(dǎo)軌上的投影點(diǎn)為參考點(diǎn)，x就是松鼠的瞬時位移。再考慮到合力與位移的方向因素，松鼠的合力與位移滿足關(guān)系——
= －k
其中k = 
，對于這個系統(tǒng)而言，k是固定不變的。
顯然這就是簡諧運(yùn)動的定義式。
答案：松鼠做簡諧運(yùn)動。
評說：這是第十三屆物理奧賽預(yù)賽試題，問法比較模糊。如果理解為定性求解，以上答案已經(jīng)足夠。但考慮到原題中還是有定量的條件，所以做進(jìn)一步的定量運(yùn)算也是有必要的。譬如，我們可以求出松鼠的運(yùn)動周期為：T = 2π
= 2π
= 2.64s 。
二、典型的簡諧運(yùn)動
1、彈簧振子
物理情形：如圖8所示，用彈性系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧連著一個質(zhì)量為m的小球，置于傾角為θ
為了在21世紀(jì)汽車工業(yè)能夠持續(xù)發(fā)展，世界各大汽車公司都在爭相研制各種新型的無污染的環(huán)保汽車，力圖使自己生產(chǎn)的汽車達(dá)到或接近“零污染”標(biāo)準(zhǔn)．替代燃料汽車開發(fā)的基本設(shè)想是使用汽油和柴油以外的燃料．到目前為止，可用做替代燃料的是天然氣、醇類、氫等．
(1)醇類燃料汽車的醇類燃料來源、生產(chǎn)途徑非常多，其中一種方法可以甜菜、蔗糖為原料，從中提取乙醇，回答下列問題：
①糖類廣泛存在于生物體內(nèi)，可分為單糖、二糖和多糖三大類．葡萄糖屬于________，是生命活動的主要________，蔗糖是________．
②微生物在缺氧條件下的呼吸，通常稱為________，酵母菌在缺氧條件下將葡萄糖分解為酒精和________，其反應(yīng)方程式為________．
(2)氫氣燃料汽車，以氫氣為動力的發(fā)動機(jī)在燃燒過程中，只會放出水蒸氣而無二氧化碳等其他廢氣放出，因而不會產(chǎn)生溫室效應(yīng)，對環(huán)境極有好處．
①若已知每摩爾氫氣燃燒后生成水蒸氣并放出285.8kJ的熱量，試寫出H2燃燒后的熱化學(xué)方程式；
②某氫氣燃料汽車重6t，阻力是車重的0.05倍，最大輸出功率為60kW，若汽車以a＝0.5m/s2的加速度從靜止開始勻加速起動，汽車能有多長時間做勻加速運(yùn)動？汽車的最大行駛速度多大？
③若此汽車從南京以最大速度勻速駛往上海(行程約300km)，發(fā)動機(jī)的效率為50%，則至少需多少千克氫作燃料？
[1]、（11分）某學(xué)生利用“研究勻變速直線運(yùn)動”的實(shí)驗(yàn)裝置來測量一個質(zhì)量m=50g的重錘下落時的加速度值，該學(xué)生將重錘固定在紙帶下端，讓紙帶穿過打點(diǎn)計時器，實(shí)驗(yàn)裝置如圖所示．| (s4+s5+s6)-(s1+s2+s3) |
| 9T2 |
| (s4+s5+s6)-(s1+s2+s3) |
| 9T2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 計數(shù)點(diǎn)序號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 計數(shù)點(diǎn)對應(yīng)的時刻（s） | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.5 | 0.6 |
| 通過計數(shù)點(diǎn)時的速度（cm/s） | 44.0 | 62.0 | 81.0 | 100.0 | 110.0 | 168.0 |
| △v |
| △t |
| △v |
| △t |
（2006?嘉定區(qū)二模）在科學(xué)探究活動中，對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析歸納得出結(jié)論是非常重要的環(huán)節(jié)．下面的表格中的數(shù)據(jù)分別是兩組同學(xué)在物體作直線運(yùn)動過程中測得的位移s和時間t的數(shù)據(jù)記錄．| 物體運(yùn)動的起止點(diǎn) | 所測的 物理量 |
測量次數(shù) | ||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ||
| A→B | 時間t（s） | 0.55 | 1.09 | 1.67 | 2.23 | 2.74 |
| 位移s（m） | 0.25 | 0.51 | 0.75 | 1.00 | 1.26 | |
| C→D | 時間t（s） | 0.89 | 1.24 | 1.52 | 1.76 | 1.97 |
| 位移s（m） | 0.25 | 0.50 | 0.75 | 1.00 | 1.25 | |
國際學(xué)校優(yōu)選 - 練習(xí)冊列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話：027-86699610 舉報郵箱：58377363@163.com