（2010•江北區(qū)模擬）如圖，直線與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，且OA=OB=1，點(diǎn)P是反比例函數(shù)
圖象在第一象限的分支上的任意一點(diǎn)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），由點(diǎn)P分別向x軸，y軸作垂線PM、PN，垂足分別為M、N；PM、PN分別與直線交于點(diǎn)E，點(diǎn)F．
（1）設(shè)交點(diǎn)E、F都在線段AB上，分別求出點(diǎn)E、點(diǎn)F的坐標(biāo)；（用含a的代數(shù)式表示）
（2）△AOF與△BOE是否一定相似？如果一定相似，請(qǐng)予以證明；如果不一定相似或一定不相似，請(qǐng)簡(jiǎn)短說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在曲線上移動(dòng)時(shí)，△OEF隨之變動(dòng)，指出在△OEF的三個(gè)內(nèi)角中，大小始終保持不變的那個(gè)角和它的大小，并證明你的結(jié)論；
（4）在雙曲線
上是否存在點(diǎn)P，使點(diǎn)P到直線AB的距離最短的點(diǎn)，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及最短距離；若不存在，說(shuō)明理由
圖象在第一象限的分支上的任意一點(diǎn)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），由點(diǎn)P分別向x軸，y軸作垂線PM、PN，垂足分別為M、N；PM、PN分別與直線交于點(diǎn)E，點(diǎn)F．
數(shù)軸上的點(diǎn)A、B、C、D、O分別表示-1