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已知數(shù)列是首項為的等比數(shù)列，且滿足.

（1）   求常數(shù)的值和數(shù)列的通項公式；

（2）   若抽去數(shù)列中的第一項、第四項、第七項、……、第項、……，余下的項按原來的順序組成一個新的數(shù)列，試寫出數(shù)列的通項公式；

（3） 在（2）的條件下，設數(shù)列的前項和為.是否存在正整數(shù)，使得？若存在，試求所有滿足條件的正整數(shù)的值；若不存在，請說明理由.

【解析】第一問中解：由得，，

又因為存在常數(shù)p使得數(shù)列為等比數(shù)列，

則即，所以p=1

故數(shù)列為首項是2，公比為2的等比數(shù)列，即.

此時也滿足，則所求常數(shù)的值為1且

第二問中，解：由等比數(shù)列的性質得：

（i）當時，；

（ii） 當時，，

所以

第三問假設存在正整數(shù)n滿足條件，則，

則（i）當時，

，

已知數(shù)列滿足（I）求數(shù)列的通項公式；

（II）若數(shù)列中，前項和為，且證明：

【解析】第一問中，利用，

∴數(shù)列{}是以首項a₁+1，公比為2的等比數(shù)列，即 

第二問中， 

進一步得到得    即

即是等差數(shù)列.

然后結合公式求解。

解：（I）  解法二、，

∴數(shù)列{}是以首項a₁+1，公比為2的等比數(shù)列，即 

（II）     ………②

由②可得： …………③

③－②，得    即 …………④

又由④可得 …………⑤

⑤－④得

即是等差數(shù)列.

已知數(shù)列中，，，數(shù)列中，，且點在直線上。

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）求數(shù)列的前項和；

（3）若，求數(shù)列的前項和；

【解析】第一問中利用數(shù)列的遞推關系式

，因此得到數(shù)列的通項公式；

第二問中，在 即為：

即數(shù)列是以的等差數(shù)列

得到其前n項和。

第三問中， 又   

，利用錯位相減法得到。

解：（1）

  即數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列

                  ……4分

（2）在 即為：

即數(shù)列是以的等差數(shù)列

         ……8分

（3） 又   

   ①         ②

①-  ②得到

已知數(shù)列的前n項和，數(shù)列有， 

（1）求的通項；

（2）若，求數(shù)列的前n項和．

【解析】第一問中，利用當n=1時，

        當時，

得到通項公式

第二問中，∵   ∴∴數(shù)列  是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，利用錯位相減法得到。

解：（1）當n=1時，                      ……………………1分

        當時， ……4分

        又

        ∴                            ……………………5分

（2）∵   ∴        

     ∴                 ……………………7分

     又∵，    ∴ 

     ∴數(shù)列  是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，

     ∴                          ……………………9分

     ∴                        

     ∴     ①

          ②

     ①-②得：

 ∴