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題型1:正.余弦定理 例1．(1)在中.已知..cm.解三角形, (2)在中.已知cm.cm..解三角形(角度精確到.邊長精確到1cm). 解析:(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理. , 根據(jù)正弦定理. , 根據(jù)正弦定理. (2)根據(jù)正弦定理. 因為＜＜.所以.或 ①當時. . ②當時. . 點評:應用正弦定理時(1)應注意已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時.可能有兩解的情形,(2)對于解三角形中的復雜運算可使用計算器. 例2．(1)在ABC中.已知...求b及A, (2)在ABC中.已知...解三角形 解析:(1)∵ =cos = = ∴ 求可以利用余弦定理.也可以利用正弦定理: 解法一:∵cos ∴ 解法二:∵sin 又∵＞＜∴＜.即＜＜ ∴ (2)由余弦定理的推論得: cos , cos , 點評:應用余弦定理時解法二應注意確定A的取值范圍. 題型2:三角形面積 例3．在中....求的值和的面積. 解法一:先解三角方程.求出角A的值. 又, , . 解法二:由計算它的對偶關(guān)系式的值. ① , ② ① + ② 得 . ① - ② 得 . 從而 . 以下解法略去. 點評:本小題主要考查三角恒等變形.三角形面積公式等基本知識.著重數(shù)學考查運算能力.是一道三角的基礎試題.兩種解法比較起來.你認為哪一種解法比較簡單呢? 例4．已知ΔABC的三個內(nèi)角A.B．C成等差數(shù)列.其外接圓半徑為1.且有.求ΔABC的的面積. 解析:∵A+B+C=180°且2B=A+C.∴B=60°.A+C=120°.C=120°-A. ∵. ∴=. 又∵0°<A<180°.∴A=60°或A=105°. 當A=60°時.B=60°.C=60°. 當A=105°時.B=60°.C=15°. 點評:要善于借助三角形內(nèi)的部分變形條件.同時兼顧三角形的面積公式求得結(jié)果. 題型3:與三角形邊角相關(guān)的問題 例5．△ABC中.則△ABC的周長為( ) A． B． C． D． 在.求(1)(2)若點 解析:(1)答案:D 解析:在中.由正弦定理得:化簡得AC= .化簡得AB=. 所以三角形的周長為:3+AC+AB=3++ =3+.故選D. 由. . 由正弦定理知. (2).. 由余弦定理知: 點評:本題考查了在三角形正弦定理的的運用.以及三角公式恒等變形.化簡等知識的運用. 例6．在銳角中.角所對的邊分別為.已知.(1)求的值,(2)若..求的值. 解析:(1)因為銳角△ABC中.A+B+C＝p..所以cosA＝. 則 (2).則bc＝3. 將a＝2.cosA＝.c＝代入余弦定理:中. 得解得b＝. 點評:知道三角形邊外的元素如中線長.面積.周長等時.靈活逆用公式求得結(jié)果即可. 題型4:三角形中求值問題 例7．的三個內(nèi)角為.求當A為何值時.取得最大值.并求出這個最大值. 解析:由A+B+C=π.得=-.所以有cos =sin. cosA+2cos =cosA+2sin =1-2sin2 + 2sin=-22+ , 當sin = .即A=時, cosA+2cos取得最大值為. 點評:運用三角恒等式簡化三角因式最終轉(zhuǎn)化為關(guān)于一個角的三角函數(shù)的形式.通過三角函數(shù)的性質(zhì)求得結(jié)果. 例8．已知A.B.C是三內(nèi)角.向量.且.若 解析:(Ⅰ)∵ ∴.即. ., ∵.∴.∴. (Ⅱ)由題知. 整理得.∴ ∴, ∴或.而使.舍去, ∴. 點評:本小題主要考察三角函數(shù)概念.同角三角函數(shù)的關(guān)系.兩角和與差的三角函數(shù)的公式以及倍角公式.考察應用.分析和計算能力. 題型5:三角形中的三角恒等變換問題 例9．在△ABC中.a.b.c分別是∠A.∠B.∠C的對邊長.已知a.b.c成等比數(shù)列.且a2-c2=ac-bc.求∠A的大小及的值. 分析:因給出的是a.b.c之間的等量關(guān)系.要求∠A.需找∠A與三邊的關(guān)系.故可用余弦定理.由b2=ac可變形為=a.再用正弦定理可求的值. 解法一:∵a.b.c成等比數(shù)列.∴b2=ac. 又a2-c2=ac-bc.∴b2+c2-a2=bc. 在△ABC中.由余弦定理得:cosA===.∴∠A=60°. 在△ABC中.由正弦定理得sinB=.∵b2=ac.∠A=60°. ∴=sin60°=. 解法二:在△ABC中. 由面積公式得bcsinA=acsinB. ∵b2=ac.∠A=60°.∴bcsinA=b2sinB. ∴=sinA=. 評述:解三角形時.找三邊一角之間的關(guān)系常用余弦定理.找兩邊兩角之間的關(guān)系常用正弦定理. 例10．在△ABC中.已知A.B.C成等差數(shù)列.求的值. 解析:因為A.B.C成等差數(shù)列.又A+B+C＝180°.所以A+C＝120°. 從而＝60°.故tan.由兩角和的正切公式. 得. 所以 . 點評:在三角函數(shù)求值問題中的解題思路.一般是運用基本公式.將未知角變換為已知角求解.同時結(jié)合三角變換公式的逆用. 題型6:正.余弦定理判斷三角形形狀 例11．在△ABC中.若2cosBsinA＝sinC.則△ABC的形狀一定是( ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等邊三角形 答案:C 解析:2sinAcosB＝sin(A+B)+sin(A-B)又∵2sinAcosB＝sinC. ∴sin(A-B)＝0.∴A＝B 點評:本題考查了三角形的基本性質(zhì).要求通過觀察.分析.判斷明確解題思路和變形方向.通暢解題途徑. 例12．如果的三個內(nèi)角的余弦值分別等于的三個內(nèi)角的正弦值.則( ) A．和都是銳角三角形 B．和都是鈍角三角形 C．是鈍角三角形.是銳角三角形 D．是銳角三角形.是鈍角三角形 解析:的三個內(nèi)角的余弦值均大于0.則是銳角三角形. 若是銳角三角形.由.得. 那么..所以是鈍角三角形.故選D. 點評:解決此類問題時要結(jié)合三角形內(nèi)角和的取值問題.同時注意實施關(guān)于三角形內(nèi)角的一些變形公式. 題型7:正余弦定理的實際應用 例13．如圖.當甲船位于A處時獲悉.在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險等待營救．甲船立即前往救援.同時把消息告知在甲船的南偏西30.相距10海里C處的乙船.試問乙船應朝北偏東多少度的方向沿直線前往B處救援(角度精確到1)? 解析:連接BC,由余弦定理得BC2=202+102-2×20×10COS120°=700. 于是,BC=10. ∵.∴sin∠ACB=. ∵∠ACB<90°.∴∠ACB=41°. ∴乙船應朝北偏東71°方向沿直線前往B處救援. 點評:解三角形等內(nèi)容提到高中來學習.又近年加強數(shù)形結(jié)合思想的考查和對三角變換要求的降低.對三角的綜合考查將向三角形中問題伸展.但也不可太難.只要掌握基本知識.概念.深刻理解其中基本的數(shù)量關(guān)系即可過關(guān). 例14．如圖.已知△ABC是邊長為1的正三角形.M.N分別是 邊AB.AC上的點.線段MN經(jīng)過△ABC的中心G.設ÐMGA＝a() (1)試將△AGM.△AGN的面積(分別記為S1與S2), (2)表示為a的函數(shù).求y＝的最大值與最小值. 解析:(1)因為G是邊長為1的正三角形ABC的中心.所以 AG＝.ÐMAG＝.由正弦定理得.則S1＝GM·GA·sina＝.同理可求得S2＝. (2)y＝＝＝72(3+cot2a)因為. 所以當a＝或a＝時.y取得最大值ymax＝240.當a＝時.y取得最小值ymin＝216. 點評:三角函數(shù)有著廣泛的應用.本題就是一個典型的范例.通過引入角度.將圖形的語言轉(zhuǎn)化為三角的符號語言.再通過局部的換元.又將問題轉(zhuǎn)化為我們熟知的函數(shù).這些解題思維的拐點.你能否很快的想到呢? 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

下列語句中是算法的個數(shù)為(    )

①從濟南到巴黎：先從濟南坐火車到北京，再坐飛機到巴黎  ②統(tǒng)籌法中“燒水泡茶”的故事  ③測量某棵樹的高度，判斷其是否是大樹  ④已知三角形的一部分邊長和角，借助正、余弦定理求得剩余的邊和角，再利用三角形的面積公式求出該三角形的面積

A.1                  B.2                   C.3                   D.4

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已知函數(shù)f（x）=mx3+nx2（m、n∈R，m≠0）的圖象在（2，f（2））處的切線與x軸平行．
（1）求n，m的關(guān)系式并求f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）證明：對任意實數(shù)0＜x1＜x2＜1，關(guān)于x的方程：f′(x)-
f(x2)-f(x1)
x2-x1
=0在（x1，x2）恒有實數(shù)解
（3）結(jié)合（2）的結(jié)論，其實我們有拉格朗日中值定理：若函數(shù)f（x）是在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷的函數(shù)，且在區(qū)間（a，b）內(nèi)導數(shù)都存在，則在（a，b）內(nèi)至少存在一點x0，使得f′(x0)=
f(b)-f(a)
b-a
．如我們所學過的指、對數(shù)函數(shù)，正、余弦函數(shù)等都符合拉格朗日中值定理條件．試用拉格朗日中值定理證明：
當0＜a＜b時，
b-a
b
＜ln
b
a
＜
b-a
a
（可不用證明函數(shù)的連續(xù)性和可導性）．

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