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定理1.函數(shù) y = f (x)的圖像關(guān)于點(diǎn)A 對(duì)稱(chēng)的充要條件是 f = 2b 證明:是y = f (x)圖像上任一點(diǎn).∵點(diǎn)P的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P`也在y = f (x)圖像上.∴ 2b-y = f 即y + f + f = 2b.必要性得證. 設(shè)點(diǎn)P(x0,y0)是y = f (x)圖像上任一點(diǎn).則y0 = f (x0) ∵ f =2b∴f (x0) + f (2a-x0) =2b.即2b-y0 = f (2a-x0) . 故點(diǎn)P`(2a-x0.2b-y0)也在y = f (x) 圖像上.而點(diǎn)P與點(diǎn)P`關(guān)于點(diǎn)A 對(duì)稱(chēng).充分性得征. 推論:函數(shù) y = f (x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)的充要條件是f = 0 定理2. 函數(shù) y = f (x)的圖像關(guān)于直線x = a對(duì)稱(chēng)的充要條件是 f 即f 推論:函數(shù) y = f (x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的充要條件是f 定理3. ①若函數(shù)y = f (x) 圖像同時(shí)關(guān)于點(diǎn)A 成中心對(duì)稱(chēng)是周期函數(shù).且2| a-b|是其一個(gè)周期. ②若函數(shù)y = f (x) 圖像同時(shí)關(guān)于直線x = a 和直線x = b成軸對(duì)稱(chēng) 是周期函數(shù).且2| a-b|是其一個(gè)周期. ③若函數(shù)y = f (x)圖像既關(guān)于點(diǎn)A 成中心對(duì)稱(chēng)又關(guān)于直線x =b成軸對(duì)稱(chēng)是周期函數(shù).且4| a-b|是其一個(gè)周期. ①②的證明留給讀者.以下給出③的證明: ∵函數(shù)y = f (x)圖像既關(guān)于點(diǎn)A 成中心對(duì)稱(chēng). ∴f =2c.用2b-x代x得: f ] =2c------(*) 又∵函數(shù)y = f (x)圖像直線x =b成軸對(duì)稱(chēng). ∴ f 得: f + x]-----x代x得 f [2 (a-b)+ x] = 2c-f [4得: f + x],故y = f (x)是周期函數(shù).且4| a-b|是其一個(gè)周期. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

設(shè)y＝f(x)是定義在R上的函數(shù)，如果存在A點(diǎn)，對(duì)函數(shù)y＝f(x)的圖像上任意點(diǎn)P，P關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q也在函數(shù)y＝f(x)的圖像上，則稱(chēng)函數(shù)y＝f(x)關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱(chēng)，A稱(chēng)為函數(shù)f(x)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．對(duì)于定義在R上的函數(shù)f(x)，可以證明點(diǎn)A(a，b)是f(x)圖像的一個(gè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的充要條件是f(a－x)＋f(a＋x)＝2b，x∈R．

(1)求函數(shù)f(x)＝x3＋3x2圖像的一個(gè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)；

(2)函數(shù)g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖像是否有對(duì)稱(chēng)點(diǎn)？若存在則求之，否則說(shuō)明理由．

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已知函數(shù)f(x)是y=－1(x∈R)的反函數(shù)，函數(shù)g(x)的圖像

與函數(shù)y=－的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，設(shè)F(x)=f(x)+g(x).

(1)求函數(shù)F(x)的解析式及定義域；

(2)試問(wèn)在函數(shù)F(x)的圖像上是否存在兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B，使直線AB恰好與y軸垂直？若存在，求出A、B的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由 

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已知函數(shù)f(x)是y=－1(x∈R)的反函數(shù)，函數(shù)g(x)的圖像
與函數(shù)y=－的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，設(shè)F(x)=f(x)+g(x).
(1)求函數(shù)F(x)的解析式及定義域；
(2)試問(wèn)在函數(shù)F(x)的圖像上是否存在兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B，使直線AB恰好與y軸垂直？若存在，求出A、B的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由 

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