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設(shè),在平面直角坐標(biāo)系中,已知向量,向量,,動(dòng)點(diǎn)的軌跡為E. (1)求軌跡E的方程,并說(shuō)明該方程所表示曲線的形狀; 21世紀(jì)教育網(wǎng) (2)已知,證明:存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且,并求出該圓的方程; (3)已知,設(shè)直線與圓C:相切于A1,且與軌跡E只有一個(gè)公共點(diǎn)B1,當(dāng)R為何值時(shí),|A1B1|取得最大值?并求最大值. 解:(1)因?yàn)?,, 所以, 即. 21世紀(jì)教育網(wǎng) 當(dāng)m=0時(shí),方程表示兩直線,方程為; 當(dāng)時(shí), 方程表示的是圓當(dāng)且時(shí),方程表示的是橢圓; 當(dāng)時(shí),方程表示的是雙曲線. (2).當(dāng)時(shí), 軌跡E的方程為,設(shè)圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線為,解方程組得,即, 要使切線與軌跡E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B, 則使△=, 即,即, 且 , 要使, 需使,即, 所以, 即且, 即恒成立. 所以又因?yàn)橹本€為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線, 所以圓的半徑為,, 所求的圓為. 當(dāng)切線的斜率不存在時(shí),切線為,與交于點(diǎn)或也滿足. 綜上, 存在圓心在原點(diǎn)的圓.使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且. (3)當(dāng)時(shí),軌跡E的方程為,設(shè)直線的方程為,因?yàn)橹本€與圓C:相切于A1, 由(2)知, 即 ①, 因?yàn)榕c軌跡E只有一個(gè)公共點(diǎn)B1, 由(2)知得, 即有唯一解則△=, 即, ② 由①②得, 此時(shí)A,B重合為B1(x1,y1)點(diǎn), 21世紀(jì)教育網(wǎng) 由中,所以,, B1(x1,y1)點(diǎn)在橢圓上,所以,所以, 在直角三角形OA1B1中,因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),所以,即當(dāng)時(shí)|A1B1|取得最大值,最大值為1. [命題立意]:本題主要考查了直線與圓的方程和位置關(guān)系,以及直線與橢圓的位置關(guān)系,可以通過解方程組法研究有沒有交點(diǎn)問題,有幾個(gè)交點(diǎn)的問題. 【查看更多】

題目列表(包括答案和解析)

(2009山東卷文) （本小題滿分14分）

設(shè),在平面直角坐標(biāo)系中,已知向量,向量,,動(dòng)點(diǎn)的軌跡為E.