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臺球桌中的數(shù)列 1.2.3.4.5 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

精英家教網(wǎng)下述數(shù)陣稱為“森德拉姆篩”，記為S．其特點是每行每列都是等差數(shù)列，第i行第j列的數(shù)記為Aij．
（1）設(shè)S中主對角線上的數(shù)1，8，17，28，41，…組成數(shù)列{bn}．試證不存在正整數(shù)k和m（1＜k＜m），使得b1，bk，bm成等比數(shù)列；
（2）對于（1）中的數(shù)列{bn}，是否存在正整數(shù)p和r （1＜r＜p＜150），使得b1，br，bp成等差數(shù)列．若存在，寫出p，r的一組解（不必寫出推理過程）；若不存在，請說明理由．

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精英家教網(wǎng)若一個數(shù)列各項取倒數(shù)后按原來的順序構(gòu)成等差數(shù)列，則稱這個數(shù)列為調(diào)和數(shù)列．已知數(shù)列{an}是調(diào)和數(shù)列，對于各項都是正數(shù)的數(shù)列{xn}，滿足xnan=xn+1an+1=xn+2an+2（n∈N*）．
（Ⅰ）證明數(shù)列{xn}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）把數(shù)列{xn}中所有項按如圖所示的規(guī)律排成一個三角形數(shù)表，當(dāng)x3=8，x7=128時，求第m行各數(shù)的和；
（Ⅲ）對于（Ⅱ）中的數(shù)列{xn}，證明：
n
2
-
1
3
＜
x1-1
x2-1
+
x2-1
x3-1
+…+
xn-1
xn+1-1
＜
n
2
．

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（2007•惠州模擬）用Sm→n表示數(shù)列{an}從第m項到第n項（共n-m+1項）之和．
（1）在遞增數(shù)列{an}中，an與an+1是關(guān)于x的方程x2-4nx+4n2-1=0（n為正整數(shù)）的兩個根．求{an}的通項公式并證明{an}是等差數(shù)列；
（2）對（1）中的數(shù)列{an}，判斷數(shù)列S1→3，S4→6，S7→9，…，S3k-2→3k的類型，并證明你的判斷．

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已知定義在（-1，1）上的函數(shù)f（x），滿足f(
1
2
)=1，并且?x，y∈（-1，1）都有f(x)-f(y)=f(
x-y
1-xy
)成立，對于數(shù)列{xn}，有x1=
1
2
，xn+1=
2xn
1+
x
2
n
．
（Ⅰ）求f（0），并證明f（x）為奇函數(shù)；
（Ⅱ）求數(shù)列{f（xn）}的通項公式；
（Ⅲ）對于（Ⅱ）中的數(shù)列{f（xn）}，證明：
n
2
-
5
6
＜
f(x1)-1
f(x2)-1
+
f(x2)-1
f(x3)-1
+…+
f(xn)-1
f(xn+1)-1
＜
n
2
（n∈N*）．

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若數(shù)列{bn}滿足：對于n∈N*，都有bn+2-bn=d（常數(shù)），則稱數(shù)列{bn}是公差為d的準(zhǔn)等差數(shù)列．如：若cn=
4n-1，當(dāng)n為奇數(shù)時
4n+9，當(dāng)n為偶數(shù)時.
則{cn}是公差為8的準(zhǔn)等差數(shù)列．
（1）求上述準(zhǔn)等差數(shù)列{cn}的前9項的和T9；
（2）設(shè)數(shù)列{an}滿足：a1=a，對于n∈N*，都有an+an+1=2n．求證：{an}為準(zhǔn)等差數(shù)列，并求其通項公式；
（3）設(shè)（2）中的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，試研究：是否存在實數(shù)a，使得數(shù)列{Sn}有連續(xù)的兩項都等于50．若存在，請求出a的值；若不存在，請說明理由．

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