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8．已知雙曲線的方程為, 直線通過其右焦點F2.且與雙曲線的右支交于A.B兩點.將A.B與雙曲線的左焦點F1連結(jié)起來.求|F1A|·|F1B|的最小值 解:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), A到雙曲線的左準線x= ─= ─的距離d=|x1+|=x1+. 由雙曲線的定義.=e=, ∴|AF1|=(x1+)=x1+2, 同理.|BF1|=x2+2, ∴|F1A|·|F1B|=(x1+2)(x2+2)=x1x2+(x1+x2)+4 (1) 雙曲線的右焦點為F2(,0), (1)當(dāng)直線的斜率存在時設(shè)直線AB的方程為:y=k(x─). 由消去y得 (1─4k2)x2+8k2x─20k2─4=0, ∴x1+x2=, x1x2= ─, 代入(1)整理得 |F1A|·|F1B|=+4=+4 =+4=+ ∴|F1A|·|F1B|>; (2)當(dāng)直線AB垂直于x軸時.容易算出|AF2|=|BF2|=, ∴|AF1|=|BF1|=2a+=, ∴|F1A|·|F1B|= 由得:當(dāng)直線AB垂直于x軸時|F1A|·|F1B| 取最大值 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知雙曲線的方程為, 直線通過其右焦點F2，且與雙曲線的右支交于A、B兩點，將A、B與雙曲線的左焦點F1連結(jié)起來，求|F1A|·|F1B|的最小值

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已知雙曲線的方程為, 直線通過其右焦點F2，且與雙曲線的右支交于A、B兩點，將A、B與雙曲線的左焦點F1連結(jié)起來，求|F1A|·|F1B|的最小值

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已知雙曲線C的中心在坐標原點O，兩條準線的距離為，其中一個焦點恰與拋物線x 2 + 10 x 4 y + 21 = 0的焦點重合。

（1）求雙曲線C的方程；

（2）若P為C上任意一點，A為雙曲線的右頂點，通過P、O的直線與從A所引平行于漸近線的直線分別交于Q、R。試證明：| OP |是| OQ |與| OR |的等比中項。

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