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1 組合數(shù)的性質(zhì)1:． 一般地.從n個(gè)不同元素中取出個(gè)元素后.剩下個(gè)元素．因?yàn)閺膎個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的每一個(gè)組合.與剩下的n - m個(gè)元素的每一個(gè)組合一一對(duì)應(yīng).所以從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù).等于從這n個(gè)元素中取出n - m個(gè)元素的組合數(shù).即:．在這里.主要體現(xiàn):“取法 與“剩法 是“一一對(duì)應(yīng) 的思想 證明:∵ 又 .∴ 說(shuō)明:①規(guī)定:, ②等式特點(diǎn):等式兩邊下標(biāo)同.上標(biāo)之和等于下標(biāo), ③此性質(zhì)作用:當(dāng)時(shí).計(jì)算可變?yōu)橛?jì)算.能夠使運(yùn)算簡(jiǎn)化. 例如＝＝=2002, ④或．2．組合數(shù)的性質(zhì)2:＝+． 一般地.從這n+1個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)是.這些組合可以分為兩類:一類含有元素.一類不含有．含有的組合是從這n個(gè)元素中取出m -1個(gè)元素與組成的.共有個(gè),不含有的組合是從這n個(gè)元素中取出m個(gè)元素組成的.共有個(gè)．根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理.可以得到組合數(shù)的另一個(gè)性質(zhì)．在這里.主要體現(xiàn)從特殊到一般的歸納思想.“含與不含其元素 的分類思想． 證明: ∴＝+． 說(shuō)明:①公式特征:下標(biāo)相同而上標(biāo)差1的兩個(gè)組合數(shù)之和.等于下標(biāo)比原下標(biāo)多1而上標(biāo)與大的相同的一個(gè)組合數(shù), ②此性質(zhì)的作用:恒等變形.簡(jiǎn)化運(yùn)算 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

楊輝是中國(guó)南宋末年的一位杰出的數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家、楊輝三角是楊輝的一大重要研究成果，它的許多性質(zhì)與組合數(shù)的性質(zhì)有關(guān)，楊輝三角中蘊(yùn)藏了許多優(yōu)美的規(guī)律．如圖所示是一個(gè)11階楊輝三角：

（1）求第20行中從左到右的第4個(gè)數(shù)；
（2）若第n行中從左到右第14與第15個(gè)數(shù)的比為
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，求n的值；
（3）在第3斜列中，前5個(gè)數(shù)依次為1，3，6，10，15；第4斜列中，第5個(gè)數(shù)為35．顯然，1+3+6+10+15=35．事實(shí)上，一般地有這樣的結(jié)論：第m斜列中（從右上到左下）前k個(gè)數(shù)之和，一定等于第m+1斜列中第k個(gè)數(shù)．試用含有m，k（m，k∈N*）的數(shù)學(xué)公式表示上述結(jié)論，并給予證明．

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楊輝是中國(guó)南宋末年的一位杰出的數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家、楊輝三角是楊輝的一大重要研究成果，它的許多性質(zhì)與組合數(shù)的性質(zhì)有關(guān)，楊輝三角中蘊(yùn)藏了許多優(yōu)美的規(guī)律．下圖是一個(gè)11階楊輝三角：

(1)求第20行中從左到右的第4個(gè)數(shù)；

(2)若第n行中從左到右第14與第15個(gè)數(shù)的比為，求n的值；

(3)若n階(包括0階)楊輝三角的所有數(shù)的和；

(4)在第3斜列中，前5個(gè)數(shù)依次為1，3，6，10，15；第4斜列中，第5個(gè)數(shù)為35．顯然，1＋3＋6＋10＋15＝35．事實(shí)上，一般地有這樣的結(jié)論：

第m斜列中(從右上到左下)前k個(gè)數(shù)之和，一定等于第m＋1斜列中第k個(gè)數(shù)．

試用含有m、k(m，k∈N*)的數(shù)學(xué)公式表示上述結(jié)論，并給予證明．

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（本題滿分15分）楊輝是中國(guó)南宋末年的一位杰出的數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家，楊輝三角是楊輝的一大重要研究成果，它的許多性質(zhì)與組合數(shù)的性質(zhì)有關(guān)，楊輝三角中蘊(yùn)藏了許多優(yōu)美的規(guī)律．下圖是一個(gè)11階楊輝三角：

（1）求第20行中從左到右的第3個(gè)數(shù)；
（2）若第行中從左到右第13與第14個(gè)數(shù)的比為，求的值；
（3）寫(xiě)出第行所有數(shù)的和，寫(xiě)出階（包括階）楊輝三角中的所有數(shù)的和；
（4）在第3斜列中，前5個(gè)數(shù)依次為1，3，6，10，15；第4斜列中，第5個(gè)數(shù)為35，我們發(fā)現(xiàn)，事實(shí)上，一般地有這樣的結(jié)論：第斜列中（從右上到左下）前個(gè)數(shù)之和，一定等于第斜列中第個(gè)數(shù)．
試用含有，的數(shù)學(xué)式子表示上述結(jié)論，并證明．

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（本題滿分15分）楊輝是中國(guó)南宋末年的一位杰出的數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家，楊輝三角是楊輝的一大重要研究成果，它的許多性質(zhì)與組合數(shù)的性質(zhì)有關(guān)，楊輝三角中蘊(yùn)藏了許多優(yōu)美的規(guī)律．下圖是一個(gè)11階楊輝三角：

  

（1）求第20行中從左到右的第3個(gè)數(shù)；

（2）若第行中從左到右第13與第14個(gè)數(shù)的比為，求的值；

（3）寫(xiě)出第行所有數(shù)的和，寫(xiě)出階（包括階）楊輝三角中的所有數(shù)的和；

（4）在第3斜列中，前5個(gè)數(shù)依次為1，3，6，10，15；第4斜列中，第5個(gè)數(shù)為35，我們發(fā)現(xiàn)，事實(shí)上，一般地有這樣的結(jié)論：第斜列中（從右上到左下）前個(gè)數(shù)之和，一定等于第斜列中第個(gè)數(shù)．

試用含有，的數(shù)學(xué)式子表示上述結(jié)論，并證明．

 

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（本題滿分15分）楊輝是中國(guó)南宋末年的一位杰出的數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家，楊輝三角是楊輝的一大重要研究成果，它的許多性質(zhì)與組合數(shù)的性質(zhì)有關(guān)，楊輝三角中蘊(yùn)藏了許多優(yōu)美的規(guī)律．下圖是一個(gè)11階楊輝三角：

  

（1）求第20行中從左到右的第3個(gè)數(shù)；

   （2）若第行中從左到右第13與第14個(gè)數(shù)的比為，求的值；

   （3）寫(xiě)出第行所有數(shù)的和，寫(xiě)出階（包括階）楊輝三角中的所有數(shù)的和；

（4）在第3斜列中，前5個(gè)數(shù)依次為1，3，6，10，15；第4斜列中，第5個(gè)數(shù)為35，我們發(fā)現(xiàn)，事實(shí)上，一般地有這樣的結(jié)論：第斜列中（從右上到左下）前個(gè)數(shù)之和，一定等于第斜列中第個(gè)數(shù)．

        試用含有，的數(shù)學(xué)式子表示上述結(jié)論，并證明．

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