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（本小題滿分12分）

已知等差數列滿足。

（Ⅰ）求通項的通項公式及的最大值;

（Ⅱ）設,求數列的其前項和.

（本題滿分12分）已知數列中，，前項和與通項滿足，求通項的表達式.

已知函數，數列的項滿足： ，（1）試求

（2） 猜想數列的通項，并利用數學歸納法證明.

【解析】第一問中，利用遞推關系,

,   

第二問中，由（1）猜想得：然后再用數學歸納法分為兩步驟證明即可。

解: (1) ,

,    …………….7分

（2）由（1）猜想得：

（數學歸納法證明）i) ,  ,命題成立

ii) 假設時，成立

則時，

綜合i),ii) : 成立

口袋里裝有大小相同的4個紅球和8個白球，甲、乙兩人依規(guī)則從袋中有放回摸球，每次摸出一個球，規(guī)則如下：若一方摸出一個紅球，則此人繼續(xù)下一次摸球；若一方摸出一個白球，則由對方接替下一次摸球，且每次摸球彼此相互獨立，并由甲進行第一次摸球。

（I）求在前三次摸球中，甲摸得紅球的次數ξ的數學期望。

（II）設第n次由甲摸球的概率為的遞推關系，并求數列的通項公式。