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題型1:計(jì)數(shù)原理 例1．完成下列選擇題與填空題 (1)有三個(gè)不同的信箱.今有四封不同的信欲投其中.則不同的投法有 種. A．81 B．64 C．24 D．4 (2)四名學(xué)生爭(zhēng)奪三項(xiàng)冠軍.獲得冠軍的可能的種數(shù)是( ) A．81 B．64 C．24 D．4 (3)有四位學(xué)生參加三項(xiàng)不同的競(jìng)賽. ①每位學(xué)生必須參加一項(xiàng)競(jìng)賽.則有不同的參賽方法有 , ②每項(xiàng)競(jìng)賽只許有一位學(xué)生參加.則有不同的參賽方法有 , ③每位學(xué)生最多參加一項(xiàng)競(jìng)賽.每項(xiàng)競(jìng)賽只許有一位學(xué)生參加.則不同的參賽方法有 . 解析:(1)完成一件事是“分步 進(jìn)行還是“分類 進(jìn)行.是選用基本原理的關(guān)鍵.將“投四封信 這件事分四步完成.每投一封信作為一步.每步都有投入三個(gè)不同信箱的三種方法.因此:N=3×3×3×3=34=81.故答案選A. 本題也可以這樣分類完成.①四封信投入一個(gè)信箱中.有C31種投法,②四封信投入兩個(gè)信箱中.有C32(C41·A22+C42·C22)種投法,③四封信投入三個(gè)信箱.有兩封信在同一信箱中.有C42·A33種投法..故共有C31+C32(C41·A22+C42C22)+C42·A33=81(種).故選A. (2)因?qū)W生可同時(shí)奪得n項(xiàng)冠軍.故學(xué)生可重復(fù)排列.將4名學(xué)生看作4個(gè)“店 .3項(xiàng)冠軍看作“客 .每個(gè)“客 都可住進(jìn)4家“店 中的任意一家.即每個(gè)“客 有4種住宿法.由分步計(jì)數(shù)原理得:N=4×4×4=64. 故答案選B. (3)①學(xué)生可以選擇項(xiàng)目.而競(jìng)賽項(xiàng)目對(duì)學(xué)生無(wú)條件限制.所以類似(1)可得N=34=81(種), ②競(jìng)賽項(xiàng)目可以挑學(xué)生.而學(xué)生無(wú)選擇項(xiàng)目的機(jī)會(huì).每一項(xiàng)可以挑4種不同學(xué)生.共有N=43=64(種), ③等價(jià)于從4個(gè)學(xué)生中挑選3個(gè)學(xué)生去參加三個(gè)項(xiàng)目的競(jìng)賽.每人參加一項(xiàng).故共有C43·A33=24(種). 例2．今有2個(gè)紅球.3個(gè)黃球.4個(gè)白球.同色球不加以區(qū)分.將這9個(gè)球排成一列有 種不同的方法. 解析:本題考查排列組合的基本知識(shí).由題意可知.因同色球不加以區(qū)分.實(shí)際上是一個(gè)組合問(wèn)題.共有. 點(diǎn)評(píng):分步計(jì)數(shù)原理與分類計(jì)數(shù)原理是排列組合中解決問(wèn)題的重要手段.也是基礎(chǔ)方法.在高中數(shù)學(xué)中.只有這兩個(gè)原理.尤其是分類計(jì)數(shù)原理與分類討論有很多相通之處.當(dāng)遇到比較復(fù)雜的問(wèn)題時(shí).用分類的方法可以有效的將之化簡(jiǎn),達(dá)到求解的目的. 題型2:排列問(wèn)題 例3．在這五個(gè)數(shù)字組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中.各位數(shù)字之和為奇數(shù)的共有( ) 24個(gè) 6個(gè) 從4名男生和3名女生中選出3人.分別從事三項(xiàng)不同的工作.若這3人中至少有1名女生.則選派方案共有( ) 186種 270種 在數(shù)字1,2.3與符號(hào)+.-五個(gè)元素的所有全排列中.任意兩個(gè)數(shù)字都不相鄰的全排列個(gè)數(shù)是( ) A．6 B. 12 C. 18 D. 24 班學(xué)要安排畢業(yè)晚會(huì)的4各音樂(lè)節(jié)目.2個(gè)舞蹈節(jié)目和1個(gè)曲藝節(jié)目的演出順序.要求兩個(gè)舞蹈節(jié)目不連排.則不同排法的種數(shù)是( ) 3600 5040 解析:(1)依題意.所選的三位數(shù)字有兩種情況:(1)3個(gè)數(shù)字都是奇數(shù).有種方法(2)3個(gè)數(shù)字中有一個(gè)是奇數(shù).有.故共有+＝24種方法.故選B, (2)從全部方案中減去只選派男生的方案數(shù).合理的選派方案共有=186種.選B, (3)先排列1.2.3.有種排法.再將“+ .“- 兩個(gè)符號(hào)插入.有種方法.共有12種方法.選B, (4)不同排法的種數(shù)為＝3600.故選B. 點(diǎn)評(píng):合理的應(yīng)用排列的公式處理實(shí)際問(wèn)題.首先應(yīng)該進(jìn)入排列問(wèn)題的情景.想清楚我處理時(shí)應(yīng)該如何去做. 例4．用數(shù)字0.1.2.3.4組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù).則其中數(shù)字1.2相鄰的偶數(shù)有 個(gè), 電視臺(tái)連續(xù)播放6個(gè)廣告.其中含4個(gè)不同的商業(yè)廣告和2個(gè)不同的公益廣告.要求首尾必須播放公益廣告.則共有 種不同的播放方式. 解析:(1)可以分情況討論:① 若末位數(shù)字為0.則1.2.為一組.且可以交換位置.3.4.各為1個(gè)數(shù)字.共可以組成個(gè)五位數(shù),② 若末位數(shù)字為2.則1與它相鄰.其余3個(gè)數(shù)字排列.且0不是首位數(shù)字.則有個(gè)五位數(shù),③ 若末位數(shù)字為4.則1.2.為一組.且可以交換位置.3.0.各為1個(gè)數(shù)字.且0不是首位數(shù)字.則有=8個(gè)五位數(shù).所以全部合理的五位數(shù)共有24個(gè). (2)分二步:首尾必須播放公益廣告的有A22種,中間4個(gè)為不同的商業(yè)廣告有A44種.從而應(yīng)當(dāng)填 A22·A44＝48. 從而應(yīng)填48. 點(diǎn)評(píng):排列問(wèn)題不可能解決所有問(wèn)題.對(duì)于較復(fù)雜的問(wèn)題都是以排列公式為輔助. 題型三:組合問(wèn)題 例5．將5名實(shí)習(xí)教師分配到高一年級(jí)的3個(gè)班實(shí)習(xí).每班至少1名.最多2名.則不同的分配方案有( ) 90種 270種 將4個(gè)顏色互不相同的球全部放入編號(hào)為1和2的兩個(gè)盒子里.使得放入每個(gè)盒子里的球的個(gè)數(shù)不小于該盒子的編號(hào).則不同的放球方法有( ) A．10種 B．20種 C．36種 D．52種 解析:(1)將5名實(shí)習(xí)教師分配到高一年級(jí)的3個(gè)班實(shí)習(xí).每班至少1名.最多2名.則將5名教師分成三組.一組1人.另兩組都是2人.有種方法.再將3組分到3個(gè)班.共有種不同的分配方案.選B, (2)將4個(gè)顏色互不相同的球全部放入編號(hào)為1和2的兩個(gè)盒子里.使得放入每個(gè)盒子里的球的個(gè)數(shù)不小于該盒子的編號(hào).分情況討論:①1號(hào)盒子中放1個(gè)球.其余3個(gè)放入2號(hào)盒子.有種方法,②1號(hào)盒子中放2個(gè)球.其余2個(gè)放入2號(hào)盒子.有種方法,則不同的放球方法有10種.選A. 點(diǎn)評(píng):計(jì)數(shù)原理是解決較為復(fù)雜的排列組合問(wèn)題的基礎(chǔ).應(yīng)用計(jì)數(shù)原理結(jié)合 例6．某校從8名教師中選派4名教師同時(shí)去4個(gè)邊遠(yuǎn)地區(qū)支教.其中甲和乙不同去.則不同的選派方案共有 種, 5名志愿者分到3所學(xué)校支教.每個(gè)學(xué)校至少去一名志愿者.則不同的分派方法共有( ) (A)150種 200種 (D)280種 解析:(1)可以分情況討論.① 甲去.則乙不去.有=480種選法,②甲不去.乙去.有=480種選法,③甲.乙都不去.有=360種選法,共有1320種不同的選派方案, (2)人數(shù)分配上有1,2,2與1,1,3兩種方式.若是1,2,2.則有＝60種.若是1,1,3.則有＝90種.所以共有150種.選A. 點(diǎn)評(píng):排列組合的交叉使用可以處理一些復(fù)雜問(wèn)題.諸如分組問(wèn)題等, 題型4:排列.組合的綜合問(wèn)題 例7．平面上給定10個(gè)點(diǎn).任意三點(diǎn)不共線.由這10個(gè)點(diǎn)確定的直線中.無(wú)三條直線交于同一點(diǎn).無(wú)兩條直線互相平行.求:(1)這些直線所交成的點(diǎn)的個(gè)數(shù)這些直線交成多少個(gè)三角形. 解法一:(1)由題設(shè)這10點(diǎn)所確定的直線是C102=45條. 這45條直線除原10點(diǎn)外無(wú)三條直線交于同一點(diǎn).由任意兩條直線交一個(gè)點(diǎn).共有C452個(gè)交點(diǎn).而在原來(lái)10點(diǎn)上有9條直線共點(diǎn)于此.所以.在原來(lái)點(diǎn)上有10C92點(diǎn)被重復(fù)計(jì)數(shù), 所以這些直線交成新的點(diǎn)是:C452-10C92=630. (2)這些直線所交成的三角形個(gè)數(shù)可如下求:因?yàn)槊總�(gè)三角形對(duì)應(yīng)著三個(gè)頂點(diǎn).這三個(gè)點(diǎn)來(lái)自上述630個(gè)點(diǎn)或原來(lái)的10個(gè)點(diǎn).所以三角形的個(gè)數(shù)相當(dāng)于從這640個(gè)點(diǎn)中任取三個(gè)點(diǎn)的組合.即C6403=43486080(個(gè)). 解法二:(1)如圖對(duì)給定的10點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn).四點(diǎn)連成6條直線.這6條直線交3個(gè)新的點(diǎn).故原題對(duì)應(yīng)于在10個(gè)點(diǎn)中任取4點(diǎn)的不同取法的3倍.即這些直線新交成的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是:3C104=630. (2)同解法一. 點(diǎn)評(píng):用排列.組合解決有關(guān)幾何計(jì)算問(wèn)題.除了應(yīng)用排列.組合的各種方法與對(duì)策之外.還要考慮實(shí)際幾何意義. 例8．已知直線ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2,3}中的3個(gè)不同的元素.并且該直線的傾斜角為銳角.求符合這些條件的直線的條數(shù). 解 設(shè)傾斜角為θ.由θ為銳角.得tanθ=->0,即a.b異號(hào). (1)若c=0.a.b各有3種取法.排除2個(gè)重復(fù)(3x-3y=0,2x-2y=0,x-y=0).故有3×3-2=7(條), (2)若c≠0.a有3種取法.b有3種取法.而同時(shí)c還有4種取法.且其中任兩條直線均不相同.故這樣的直線有3×3×4=36條.從而符合要求的直線共有7+36=43條, 點(diǎn)評(píng):本題是1999年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽中的一填空題.據(jù)抽樣分析正確率只有0.37.錯(cuò)誤原因沒(méi)有對(duì)c=0與c≠0正確分類,沒(méi)有考慮c=0中出現(xiàn)重復(fù)的直線. 題型5:二項(xiàng)式定理 例9．在的展開(kāi)式中.的冪的指數(shù)是整數(shù)的項(xiàng)共有 A．3項(xiàng) B．4項(xiàng) C．5項(xiàng) D．6項(xiàng) (2)的展開(kāi)式中含x的正整數(shù)指數(shù)冪的項(xiàng)數(shù)是 4 (D)6 解析:本題主要考查二項(xiàng)式展開(kāi)通項(xiàng)公式的有關(guān)知識(shí), (1).當(dāng)r＝0.3.6.9.12.15.18.21.24時(shí).x的指數(shù)分別是24.20.16.12.8.4.0.-4.-8.其中16.8.4.0.-8均為2的整數(shù)次冪.故選C, (2)的展開(kāi)式通項(xiàng)為.因此含x的正整數(shù)次冪的項(xiàng)共有2項(xiàng).選B, 點(diǎn)評(píng):多項(xiàng)式乘法的進(jìn)位規(guī)則.在求系數(shù)過(guò)程中,盡量先化簡(jiǎn).降底數(shù)的運(yùn)算級(jí)別,盡量化成加減運(yùn)算.在運(yùn)算過(guò)程可以適當(dāng)注意令值法的運(yùn)用.例如求常數(shù)項(xiàng).可令.在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中.要注意項(xiàng)的系數(shù)和二項(xiàng)式系數(shù)的區(qū)別. 例10．在(x-)2006 的二項(xiàng)展開(kāi)式中.含x的奇次冪的項(xiàng)之和為S.當(dāng)x＝時(shí).S等于( ) A.23008 B.-23008 C.23009 D.-23009 已知的展開(kāi)式中第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的系數(shù)之比為-,其中=-1.則展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是( ) (A)-45i (B) 45i 45 若多項(xiàng)式 ( ) 10 -10 解析:(1)設(shè)(x-)2006＝a0x2006+a1x2005+-+a2005x+a2006, 則當(dāng)x＝時(shí).有a0()2006+a1()2005+-+a2005()+a2006＝0 (1). 當(dāng)x＝-時(shí).有a0()2006-a1()2005+--a2005()+a2006＝23009 (2). 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

15、已知集合A，B滿足A∪B={0，1}，試分別用分類計(jì)數(shù)原理、分步計(jì)數(shù)原理兩種方法求出A，B的組數(shù)．

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已知集合A，B滿足A∪B={0，1}，試分別用分類計(jì)數(shù)原理、分步計(jì)數(shù)原理兩種方法求出A，B的組數(shù)．

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已知集合A，B滿足A∪B={0，1}，試分別用分類計(jì)數(shù)原理、分步計(jì)數(shù)原理兩種方法求出A，B的組數(shù)．

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已知集合A，B滿足A∪B={0，1}，試分別用分類計(jì)數(shù)原理、分步計(jì)數(shù)原理兩種方法求出A，B的組數(shù)．

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解下列各題，需要用分類加法計(jì)數(shù)原理的是

[　　]
A．

M和N都是有限集合，求M∪N元素的個(gè)數(shù)

B．

有4個(gè)小組，人數(shù)分別為12，12，10，10，從中選1人參加作文比賽，求不同的選法

C．

有4個(gè)小組，人數(shù)分別為12，12，10，10，每小組選派1人參加座談會(huì)，求不同的選法

D．

已知x∈{1，2，3}，y∈{2，3，4}，計(jì)算M(x，y)能表示多少個(gè)不同的點(diǎn)

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