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題型1:異面直線所成的角 例1．(1)直三棱住A1B1C1-ABC.∠BCA=.點(diǎn)D1.F1 分別是A1B1.A1C1的中點(diǎn).BC=CA=CC1.則BD1與AF1所成角的余弦值是( ) (A ) (B) (C) (D) 已知二面角的大小為.為異面直線.且.則所成的角為( ) (A) (B) (C) (D) 解析:(1)連結(jié)D1F1.則D1F1. ∵BC ∴D1F1 設(shè)點(diǎn)E為BC中點(diǎn).∴D1F1BE.∴BD1∥EF1.∴∠EF1A或其補(bǔ)角即為BD1與AF1所成的角.由余弦定理可求得.故選A. (2)二面角的大小為.為異面直線.且.則所成的角為兩條直線所成的角.∴ θ=.選B. 點(diǎn)評(píng):通過(guò)平移將異面直線的夾角轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)的兩條相交直線的夾角. 例2．已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2.點(diǎn)E為棱AB的中點(diǎn). 求:D1E與平面BC1D所成角的大小 解析:建立坐標(biāo)系如圖. 則... ..... ... 不難證明為平面BC1D的法向量. ∵ . ∴ D1E與平面BC1D所成的角的余弦值為. 點(diǎn)評(píng):將異面直線間的夾角轉(zhuǎn)化為空間向量的夾角. 題型2:直線與平面所成的角 例3．PA.PB.PC是從P點(diǎn)出發(fā)的三條射線.每?jī)蓷l射線的夾角均為.那么直線PC與平面PAB所成角的余弦值是( ) A. B. C. D. 解:構(gòu)造正方體如圖所示.過(guò)點(diǎn)C作CO⊥平面PAB.垂足為O.則O為正ΔABP的中心.于是∠CPO為PC與平面PAB所成的角.設(shè)PC=a.則PO=.故.即選C. 思維點(diǎn)撥:第(2)題也可利用公式直接求得. 例2．如圖.直三棱柱ABC-A1B1C1中.底面是等腰直角三角形.∠ACB＝90°.側(cè)棱AA1＝2.D.E分別是CC1與A1B的中點(diǎn).點(diǎn)E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.求A1B與平面ABD所成角的大小, 解析:如圖所示.建立坐標(biāo)系.坐標(biāo)原點(diǎn)為C.設(shè)CA＝2a.則A(2a.0.0).B(0.2a.0).D.A1(2a.0.2).E(a.a.1). G() . ∵ . . . ∴ a＝1.. ∵ 為平面ABD的法向量.且. ∴ A1B與平面ABD所成角的余弦值是. 點(diǎn)評(píng):先處理平面的法向量.再求直線的方向向量與法向量夾角間的夾角轉(zhuǎn)化為線面角. 題型3:二面角 例5．在四棱錐P-ABCD中.ABCD為正方形.PA⊥平面ABCD.PA＝AB＝a.E為BC中點(diǎn). (1)求平面PDE與平面PAB所成二面角的大小, (2)求平面PBA與平面PDC所成二面角的大小. 解析:(1)延長(zhǎng)AB.DE交于點(diǎn)F.則PF為平面PDE與平面PAD所成二面角的棱.∵PA⊥平面ABCD.∴AD⊥PA.AB, PA∩AB=A∴DA⊥平面BPA于A. 過(guò)A作AO⊥PF于O.連結(jié)OD.則∠AOD即為平面PDE與平面PAD所成二面角的平面角.易得.故平面PDE與平PAD所成二面角的正切值為, 如圖∵AD⊥PA.AB, PA∩AB=A. ∴DA⊥平面BPA于A, 同時(shí).BC⊥平面BPA于B. ∴△PBA是△PCD在平面PBA上的射影, 設(shè)平面PBA與平面PDC所成二面角大小為θ, cosθ=S△PAB/S△PCD=/2 θ=450. 即平面BAP與平面PDC所成的二面角的大小為45°. 解法2 如圖:將四棱錐P-ABCD補(bǔ)形得正方體ABCD-PQMN.則PQ⊥PA.PD.于是∠APD是兩面所成二面角的平面角. 在Rt△PAD中.PA=AD.則∠APD=45°.即平面BAP與平面PDC所成二面角的大小為45°. 例6．(1)如圖6.正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為3.側(cè)棱.D是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn).且.求二面角的大小. 已知球的半徑是1...三點(diǎn)都在球面上..兩點(diǎn)和.兩點(diǎn)的球面距離都是..兩點(diǎn)的球面距離是.則二面角的大小是( ) (A) (B) (C) (D) 解析:(1)取BC的中點(diǎn)O.連AO. 由題意:平面平面..∴平面. 以O(shè)為原點(diǎn).建立如圖6所示空間直角坐標(biāo)系. 則 .... ∴ . . . 由題意 平面ABD. ∴ 為平面ABD的法向量. 設(shè) 平面的法向量為 . 則. ∴ . ∴ . 即 .∴ 不妨設(shè) . 由. 得. 故所求二面角的大小為. 評(píng)析:(1)用法向量的方法處理二面角的問(wèn)題時(shí).將傳統(tǒng)求二面角問(wèn)題時(shí)的三步曲:“找--證--求 直接簡(jiǎn)化成了一步曲:“計(jì)算 .這表面似乎談化了學(xué)生的空間想象能力.但實(shí)質(zhì)不然.向量法對(duì)學(xué)生的空間想象能力要求更高.也更加注重對(duì)學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng).體現(xiàn)了教育改革的精神, (2)此法在處理二面角問(wèn)題時(shí).可能會(huì)遇到二面角的具體大小問(wèn)題.如本題中若取時(shí).會(huì)算得.從而所求二面角為.但依題意只為.因?yàn)槎娼堑拇笮∮袝r(shí)為銳角.直角.有時(shí)也為鈍角.所以在計(jì)算之前不妨先依題意判斷一下所求二面角的大小.然后根據(jù)計(jì)算取“相等角 或取“補(bǔ)角 . (2)解析:球的半徑是R=.三點(diǎn)都在球面上.兩點(diǎn)和兩點(diǎn)的球面距離都是.則∠AOB.∠AOC都等于.AB=AC.兩點(diǎn)的球面距離是.∠BOC=.BC=1.過(guò)B做BD⊥AO.垂足為D.連接CD.則CD⊥AD.則∠BDC是二面角的平面角.BD=CD=.∴∠BDC=.二面角的大小是.選C. 題型4:異面直線間的距離 例7．如圖.已知正方體ABCD-棱長(zhǎng)為. 求異面直線BD與C的距離． 解法一:連結(jié)AC交BD的中點(diǎn)O.取的中點(diǎn)M.連結(jié)BM交于E.連.則.過(guò)E作EF／／OM交OB于F.則. 又斜線的射影為AC.BDAC.. 同理.為BD與的公垂線.由于M為的中點(diǎn).∽.. .EF／／OM..故OB＝.． 解法二． 因?yàn)锽D／／平面.平面.故BD與的距離就是BD到平面的距離. 由.即.得． 解法三．易證平面／／平面.用等體積法易得A到平面的距離為. 同理可知:到平面的距離為.而.故兩平面間距離為． 解法四．如圖.BD／／平面..平面.平面平面＝..故O到平面的距離為斜邊上的高. 解法五.如圖.在上取一點(diǎn)M.作MEBC于E.過(guò)E作ENBD交BD于N.易知MN為BD與的公垂線時(shí).MN最小. 設(shè)BE=.CE=ME=.EN=. MN====. 當(dāng)時(shí).時(shí).. 例8．如圖2.正四棱錐的高.底邊長(zhǎng).求異面直線和之間的距離? 分析:建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.則 . . .. . .. 令向量.且. 則... .. 異面直線和之間的距離為: . 題型5:點(diǎn)面距離 例9．如圖.已知ABCD為邊長(zhǎng)是4的正方形.E.F分別是AB.AD的中點(diǎn).GC垂直于ABCD所在的平面.且GC＝2.求點(diǎn)B到平面EFG的距離. 解法一:連結(jié)BF.BG.. 又E.F分別是AB.AD的中點(diǎn). . .. . ． 解法二．E.F分別是AB.AD的中點(diǎn).EF／／BD.B到平面GEF的距離為BD上任一點(diǎn)到平面GEF的距離.BDAC于O.EF／／BD. 又GC平面ABCD.EF平面ABCD.EFGC.EF平面GEF.平面GEF平面GCH.過(guò)O點(diǎn)作HG.則平面GEF.為O到平面GCH的距離.即B到平面GEF的距離. 由解法一知:.由∽得 . 思維點(diǎn)拔:注意點(diǎn)距.線面距.面面距的轉(zhuǎn)化.利用平面互相垂直作距離也是一種常用的方法. 例10．多面體上.位于同一條棱兩端的頂點(diǎn)稱為相鄰的.如圖.正方體的一個(gè)頂點(diǎn)A在平面內(nèi).其余頂點(diǎn)在的同側(cè).正方體上與頂點(diǎn)A相鄰的三個(gè)頂點(diǎn)到的距離分別為1.2和4.P是正方體的其余四個(gè)頂點(diǎn)中的一個(gè).則P到平面的距離可能是: (寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)) ①3, ②4, ③5, ④6, ⑤7 (2)平行四邊形的一個(gè)頂點(diǎn)A在平面內(nèi).其余頂點(diǎn)在的同側(cè).已知其中有兩個(gè)頂點(diǎn)到的距離分別為1和2 .那么剩下的一個(gè)頂點(diǎn)到平面的距離可能是:①1, ②2, ③3, ④4, 以上結(jié)論正確的為 .(寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)) 解析:(1)如圖.B.D.A1到平面的距離分別為1.2.4.則D.A1的中點(diǎn)到平面的距離為3.所以D1到平面的距離為6,B.A1的中點(diǎn)到平面的距離為.所以B1到平面的距離為5,則D.B的中點(diǎn)到平面的距離為.所以C到平面的距離為3,C.A1的中點(diǎn)到平面的距離為.所以C1到平面的距離為7,而P為C.C1.B1.D1中的一點(diǎn).所以選①③④⑤. (2)如圖.B.D到平面的距離為1.2.則D.B的中點(diǎn)到平面的距離為.所以C到平面的距離為3, B.C到平面的距離為1.2.D到平面的距離為.則.即.所以D到平面的距離為1, C.D到平面的距離為1.2.同理可得B到平面的距離為1,所以選①③. 題型6:線面距離 例11．已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為8.對(duì)角線.D是AC的中點(diǎn).(1)求點(diǎn)到直線AC的距離.(2)求直線到平面的距離. 解析:(1)連結(jié)BD..由三垂線定理可得: .所以就是點(diǎn)到直線AC的距離. 在中． . (2)因?yàn)锳C與平面BD交于AC的中點(diǎn)D.設(shè).則//DE.所以//平面.所以到平面BD的距離等于A點(diǎn)到平面BD的距離.等于C點(diǎn)到平面BD的距離.也就等于三棱錐的高. ..所以.直線到平面BD的距離是. 思維點(diǎn)拔:求空間距離多用轉(zhuǎn)化的思想. 例12．如圖7.已知邊長(zhǎng)為的正三角形中..分別為和的中點(diǎn).面.且.設(shè)平面過(guò)且與平行. 求與平面間的距離? 分析:設(shè)..的單位向量分別為...選取{..}作為空間向量的一組基底. 易知. ===. 設(shè)是平面的一個(gè)法向量.則 . .即. 直線與平面間的距離= 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

試題大類：高考真題；題型：解答題；學(xué)期：2008年；單元：2008年普通高等學(xué)校夏季招生考試數(shù)學(xué)文史類（重慶卷）；知識(shí)點(diǎn)：空間直線和平面；難度：較難；其它備注：20主觀題；分值：12$如圖,α和β為平面,α∩β=l,A∈α,B∈β,AB=5,A,B在棱l上的射影分別為A′,B′,AA′=3,BB′=2.若二面角α-l-β的大小為,求:

(1)點(diǎn)B到平面α的距離;

(2)異面直線l與AB所成的角(用反三角函數(shù)表示).

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