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如圖所示，圓柱的高為2，底面半徑為,AE、DF是圓柱的兩條母線，過作圓柱的截面交下底面于.

（1）求證：；

（2）若四邊形ABCD是正方形，求證；

（3）在（2）的條件下，求二面角A-BC-E的平面角的一個(gè)三角函數(shù)值。

【解析】第一問中，利用由圓柱的性質(zhì)知：AD平行平面ＢＣＦＥ

又過作圓柱的截面交下底面于.∥ 

又AE、DF是圓柱的兩條母線

∥ＤＦ，且ＡＥ＝ＤＦ　　　　　ＡＤ∥ＥＦ

第二問中，由線面垂直得到線線垂直。四邊形ABCD是正方形　　又

BC、AE是平面ABE內(nèi)兩條相交直線

 

第三問中，設(shè)正方形ABCD的邊長為x,則在

在 

由（2）可知：為二面角A-BC-E的平面角，所以

證明：（1）由圓柱的性質(zhì)知：AD平行平面ＢＣＦＥ

又過作圓柱的截面交下底面于.∥ 

又AE、DF是圓柱的兩條母線

∥ＤＦ，且ＡＥ＝ＤＦ　　　　�。粒摹危牛� 

(2) 四邊形ABCD是正方形　　又

BC、AE是平面ABE內(nèi)兩條相交直線

 

(3)設(shè)正方形ABCD的邊長為x,則在

在 

由（2）可知：為二面角A-BC-E的平面角，所以

 

如圖，邊長為2的正方形ABCD，E是BC的中點(diǎn)，沿AE，DE將折起，使得B與C重合于O．

（Ⅰ）設(shè)Q為AE的中點(diǎn)，證明：QDAO；

（Ⅱ）求二面角O—AE—D的余弦值．

【解析】第一問中，利用線線垂直，得到線面垂直，然后利用性質(zhì)定理得到線線垂直。取AO中點(diǎn)M，連接MQ，DM，由題意可得：AOEO, DOEO，

AO=DO=2．AODM

因?yàn)镼為AE的中點(diǎn)，所以MQ//E0,MQAO

AO平面DMQ,AODQ

第二問中，作MNAE,垂足為N，連接DN

因?yàn)锳OEO, DOEO，EO平面AOD，所以EODM

，因?yàn)锳ODM ，DM平面AOE

因?yàn)镸NAE，DNAE, DNM就是所求的DM=，MN=,DN=,COSDNM=

（1）取AO中點(diǎn)M，連接MQ，DM，由題意可得：AOEO, DOEO，

AO=DO=2．AODM

因?yàn)镼為AE的中點(diǎn)，所以MQ//E0,MQAO

AO平面DMQ,AODQ

（2）作MNAE,垂足為N，連接DN

因?yàn)锳OEO, DOEO，EO平面AOD，所以EODM

，因?yàn)锳ODM ，DM平面AOE

因?yàn)镸NAE，DNAE, DNM就是所求的DM=，MN=,DN=,COSDNM=

二面角O-AE-D的平面角的余弦值為

 

如圖，已知矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)P，PA⊥平面ABCD，E、F分別是AB、

PC的中點(diǎn)．

（1）求證：EF∥平面PAD；

（2）求證：EF⊥CD；

（3）若ÐPDA＝45°求EF與平面ABCD所成的角的大�。�

【解析】本試題主要考查了線面平行和線線垂直的運(yùn)用，以及線面角的求解的綜合運(yùn)用

第一問中，利用連AC，設(shè)AC中點(diǎn)為O，連OF、OE在△PAC中，∵ F、O分別為PC、AC的中點(diǎn)   ∴ FO∥PA …………①在△ABC中，∵ E、O分別為AB、AC的中點(diǎn) ∴ EO∥BC ,又         ∵ BC∥AD   ∴ EO∥AD …………②綜合①、②可知：平面EFO∥平面PAD∵ EF Ì 平面EFO   ∴ EF∥平面PAD．

第二問中在矩形ABCD中，∵ EO∥BC，BC⊥CD ∴ EO⊥CD  又    ∵ FO∥PA，PA⊥平面AC  ∴ FO⊥平面AC∴ EO為EF在平面AC內(nèi)的射影       ∴ CD⊥EF．

第三問中，若ÐPDA＝45°，則 PA＝AD＝BC    ∵ EOBC，F(xiàn)OPA

∴ FO＝EO 又∵ FO⊥平面AC∴ △FOE是直角三角形 ∴ ÐFEO＝45°

證：連AC，設(shè)AC中點(diǎn)為O，連OF、OE（1）在△PAC中，∵ F、O分別為PC、AC的中點(diǎn)∴ FO∥PA …………①    在△ABC中，∵ E、O分別為AB、AC的中點(diǎn)  ∴ EO∥BC ,又         ∵ BC∥AD   ∴ EO∥AD …………②綜合①、②可知：平面EFO∥平面PAD    

∵ EF Ì 平面EFO      ∴ EF∥平面PAD．

（2）在矩形ABCD中，∵ EO∥BC，BC⊥CD∴ EO⊥CD  又        ∵ FO∥PA，PA⊥平面AC  ∴ FO⊥平面AC ∴ EO為EF在平面AC內(nèi)的射影     ∴ CD⊥EF．

（3）若ÐPDA＝45°，則 PA＝AD＝BC         ∵ EOBC，F(xiàn)OPA

∴ FO＝EO 又    ∵ FO⊥平面AC   ∴ △FOE是直角三角形 ∴ ÐFEO＝45°

 

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC為正三角形，M、N、G分別是棱CC₁、AB、BC的中點(diǎn)，且.

（Ⅰ）求證：CN∥平面AMB₁；

（Ⅱ）求證： B₁M⊥平面AMG.

【解析】本試題主要是考查了立體幾何匯總線面的位置關(guān)系的運(yùn)用。第一問中，要證CN∥平面AMB₁；，只需要確定一條直線CN∥MP，既可以得到證明

第二問中，∵CC₁⊥平面ABC，∴平面CC₁ B₁ B⊥平面ABC，得到線線垂直，B₁M⊥AG，結(jié)合線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，可以得證。

解：(Ⅰ)設(shè)AB₁ 的中點(diǎn)為P，連結(jié)NP、MP ………………1分

∵CM   ，NP   ，∴CM       NP， …………2分

∴CNPM是平行四邊形，∴CN∥MP  …………………………3分

∵CN  平面AMB₁，MP奐  平面AMB₁，∴CN∥平面AMB₁…4分

(Ⅱ)∵CC₁⊥平面ABC，∴平面CC₁ B₁ B⊥平面ABC，

    ∵AG⊥BC，∴AG⊥平面CC₁ B₁ B，∴B₁M⊥AG………………6分

∵CC₁⊥平面ABC，平面A₁B₁C₁∥平面ABC，∴CC₁⊥AC，CC₁⊥B₁ C，  

設(shè)：AC=2a，則

…………………………8分

同理，…………………………………9分

∵ BB₁∥CC₁，∴BB₁⊥平面ABC，∴BB₁⊥AB，

………………………………10分

 

在棱長為的正方體中,是線段的中點(diǎn),.

(1) 求證:^；

(2) 求證://平面；

(3) 求三棱錐的表面積.

【解析】本試題考查了線線垂直和線面平行的判定定理和表面積公式的運(yùn)用。第一問中，利用，得到結(jié)論，第二問中，先判定為平行四邊形，然后，可知結(jié)論成立。

第三問中，是邊長為的正三角形，其面積為，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061917121082894691/SYS201206191714422195910840_ST.files/image017.png">平面，所以，

所以是直角三角形，其面積為，

同理的面積為， 面積為.  所以三棱錐的表面積為.

解: (1)證明：根據(jù)正方體的性質(zhì)，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061917121082894691/SYS201206191714422195910840_ST.files/image028.png">，

所以，又，所以，，

所以^.               ………………4分

(2)證明：連接，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061917121082894691/SYS201206191714422195910840_ST.files/image033.png">，

所以為平行四邊形，因此，

由于是線段的中點(diǎn)，所以，      …………6分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061917121082894691/SYS201206191714422195910840_ST.files/image035.png">面，平面，所以∥平面.   ……………8分

(3)是邊長為的正三角形，其面積為，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061917121082894691/SYS201206191714422195910840_ST.files/image017.png">平面，所以，

所以是直角三角形，其面積為，

同理的面積為，              ……………………10分

面積為.          所以三棱錐的表面積為