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題型1:方程的根與函數(shù)零點(diǎn) 例1．(1)方程lgx+x=3的解所在區(qū)間為( ) A．(0.1) B．(1.2) C． (2)設(shè)a為常數(shù).試討論方程的實根的個數(shù). 解析: (1)在同一平面直角坐標(biāo)系中.畫出函數(shù)y=lgx與y=-x+3的圖象.它們的交點(diǎn)橫坐標(biāo).顯然在區(qū)間(1.3)內(nèi).由此可排除A.D至于選B還是選C.由于畫圖精確性的限制.單憑直觀就比較困難了.實際上這是要比較與2的大小.當(dāng)x=2時.lgx=lg2.3-x=1.由于lg2＜1.因此＞2.從而判定∈(2.3).故本題應(yīng)選C. (2)原方程等價于 即 構(gòu)造函數(shù)和.作出它們的圖像.易知平行于x軸的直線與拋物線的交點(diǎn)情況可得: ①當(dāng)或時.原方程有一解, ②當(dāng)時.原方程有兩解, ③當(dāng)或時.原方程無解. 點(diǎn)評:圖象法求函數(shù)零點(diǎn).考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想.本題是通過構(gòu)造函數(shù)用數(shù)形結(jié)合法求方程lgx+x=3解所在的區(qū)間.數(shù)形結(jié)合.要在結(jié)合方面下功夫.不僅要通過圖象直觀估計.而且還要計算的鄰近兩個函數(shù)值.通過比較其大小進(jìn)行判斷. 例2．設(shè)函數(shù)在上滿足..且在閉區(qū)間［0.7］上.只有. (Ⅰ)試判斷函數(shù)的奇偶性, (Ⅱ)試求方程=0在閉區(qū)間［-2005.2005］上的根的個數(shù).并證明你的結(jié)論. 解析:由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函數(shù)的對稱軸為, 從而知函數(shù)不是奇函數(shù), 由 ,從而知函數(shù)的周期為 又,故函數(shù)是非奇非偶函數(shù); (II)由 (III) 又 故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有兩個解,從而可知函數(shù)在[0,2005]上有402個解,在[-2005.0]上有400個解,所以函數(shù)在[-2005,2005]上有802個解. 點(diǎn)評:解題過程注重了函數(shù)的數(shù)字特征“ .即函數(shù)的零點(diǎn).也就是方程的根. 題型2:零點(diǎn)存在性定理 例3．設(shè)函數(shù).其中常數(shù)為整數(shù). (1)當(dāng)為何值時., (2)定理:若函數(shù)在上連續(xù).且與異號.則至少存在一點(diǎn).使得 試用上述定理證明:當(dāng)整數(shù)時.方程在內(nèi)有兩個實根. 解析:(1)函數(shù)f(x)=x-ln(x+m),x∈連續(xù).且 當(dāng)x∈時,f ’(x)<0,f(x)為減函數(shù),f(x)>f(1-m) 當(dāng)x∈時,f ’(x)>0,f(x)為增函數(shù),f(x)>f(1-m) 根據(jù)函數(shù)極值判別方法.f(1-m)=1-m為極小值.而且 對x∈都有f(x)≥f(1-m)=1-m 故當(dāng)整數(shù)m≤1時.f(x) ≥1-m≥0 知.當(dāng)整數(shù)m>1時.f(1-m)=1-m<0, 函數(shù)f(x)=x-ln(x+m),在 上為連續(xù)減函數(shù). 由所給定理知.存在唯一的 而當(dāng)整數(shù)m>1時. 類似地.當(dāng)整數(shù)m>1時.函數(shù)f(x)=x-ln(x+m),在 上為連續(xù)增函數(shù)且 f(1-m)與異號.由所給定理知.存在唯一的 故當(dāng)m>1時.方程f(x)=0在內(nèi)有兩個實根. 點(diǎn)評:本題以信息給予的形式考察零點(diǎn)的存在性定理.解決該題的解題技巧主要在區(qū)間的放縮和不等式的應(yīng)用上. 例4．若函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的圖象為連續(xù)不斷的一條曲線.則下列說法正確的是( ) A．若.不存在實數(shù)使得, B．若.存在且只存在一個實數(shù)使得, C．若.有可能存在實數(shù)使得, D．若.有可能不存在實數(shù)使得, 解析:由零點(diǎn)存在性定理可知選項D不正確,對于選項B.可通過反例“在區(qū)間上滿足.但其存在三個解 推翻,同時選項A可通過反例“在區(qū)間上滿足.但其存在兩個解 ,選項D正確.見實例“在區(qū)間上滿足.但其不存在實數(shù)解 . 點(diǎn)評:該問題詳細(xì)介紹了零點(diǎn)存在性定理的理論基礎(chǔ). 題型3:二分法的概念 例5．關(guān)于“二分法 求方程的近似解.說法正確的是() A．“二分法 求方程的近似解一定可將在[a,b]內(nèi)的所有零點(diǎn)得到, B．“二分法 求方程的近似解有可能得不到在[a,b]內(nèi)的零點(diǎn), C．應(yīng)用“二分法 求方程的近似解.在[a,b]內(nèi)有可能無零點(diǎn), D．“二分法 求方程的近似解可能得到在[a,b]內(nèi)的精確解, 解析:如果函數(shù)在某區(qū)間滿足二分法題設(shè).且在區(qū)間內(nèi)存在兩個及以上的實根.二分法只可能求出其中的一個.只要限定了近似解的范圍就可以得到函數(shù)的近似解.二分法的實施滿足零點(diǎn)存在性定理.在區(qū)間內(nèi)一定存在零點(diǎn).甚至有可能得到函數(shù)的精確零點(diǎn). 點(diǎn)評:該題深入解析了二分法的思想方法. 例6．方程在[0.1]內(nèi)的近似解.用“二分法 計算到達(dá)到精確度要求.那么所取誤差限是( ) A．0.05 B．0.005 C．0.0005 D．0.00005 解析:由四舍五入的原則知道.當(dāng)時.精度達(dá)到.此時差限是0.0005.選項為C. 點(diǎn)評:該題考察了差限的定義.以及它對精度的影響. 題型4:應(yīng)用“二分法 求函數(shù)的零點(diǎn)和方程的近似解 例7．借助計算器.用二分法求出在區(qū)間(1.2)內(nèi)的近似解. 解析:原方程即. 令. 用計算器做出如下對應(yīng)值表 x -2 -1 0 1 2 f(x) 2.5820 3.0530 27918 1.0794 -4.6974 觀察上表.可知零點(diǎn)在(1.2)內(nèi) 取區(qū)間中點(diǎn)=1.5.且.從而.可知零點(diǎn)在內(nèi), 再取區(qū)間中點(diǎn)=1.25.且.從而.可知零點(diǎn)在內(nèi), 同理取區(qū)間中點(diǎn)=1.375.且.從而.可知零點(diǎn)在內(nèi), 由于區(qū)間內(nèi)任一值精確到0.1后都是1.3.故結(jié)果是1.3. 點(diǎn)評:該題系統(tǒng)的講解了二分法求方程近似解的過程.通過本題學(xué)會借助精度終止二分法的過程. 例8．借助計算器或計算機(jī)用二分法求方程的近似解(精確到). 分析:本例除借助計算器或計算機(jī)確定方程解所在的大致區(qū)間和解的個數(shù)外.你是否還可以想到有什么方法確定方程的根的個數(shù)? 略解:圖象在閉區(qū)間.上連續(xù)的單調(diào)函數(shù).在.上至多有一個零點(diǎn). 點(diǎn)評:①第一步確定零點(diǎn)所在的大致區(qū)間..可利用函數(shù)性質(zhì).也可借助計算機(jī)或計算器.但盡量取端點(diǎn)為整數(shù)的區(qū)間.盡量縮短區(qū)間長度.通�？纱_定一個長度為1的區(qū)間, ②建議列表樣式如下: 零點(diǎn)所在區(qū)間 中點(diǎn)函數(shù)值 區(qū)間長度 [1.2] >0 1 [1.1.5] <0 0.5 [1.25.1.5] <0 0.25 如此列表的優(yōu)勢:計算步數(shù)明確.區(qū)間長度小于精度時.即為計算的最后一步. 題型5:一元二次方程的根與一元二次函數(shù)的零點(diǎn) 例9． 設(shè)二次函數(shù).方程的兩個根滿足. 當(dāng)時.證明. 證明:由題意可知. , ∴ , ∴ 當(dāng)時.. 又, ∴ , 綜上可知.所給問題獲證. 點(diǎn)評:在已知方程兩根的情況下.根據(jù)函數(shù)與方程根的關(guān)系.可以寫出函數(shù)的表達(dá)式.從而得到函數(shù)的表達(dá)式. 例10．已知二次函數(shù).設(shè)方程的兩個實數(shù)根為和. (1)如果.設(shè)函數(shù)的對稱軸為.求證:, (2)如果..求的取值范圍. 解析:設(shè).則的二根為和. (1)由及.可得 .即. 即 兩式相加得.所以., (2)由, 可得 . 又.所以同號. ∴ .等價于 或, 即 或 解之得 或. 點(diǎn)評:條件實際上給出了的兩個實數(shù)根所在的區(qū)間.因此可以考慮利用上述圖像特征去等價轉(zhuǎn)化. 題型6:一元二次函數(shù)與一元二次不等式 例11．設(shè).若.., 試證明:對于任意.有. 解析:∵ , ∴ , ∴ . ∴ 當(dāng)時. 當(dāng)時. 綜上.問題獲證. 點(diǎn)評:本題中.所給條件并不足以確定參數(shù)的值.但應(yīng)該注意到:所要求的結(jié)論不是確定值.而是與條件相對應(yīng)的“取值范圍 .因此.我們可以用來表示. 例12．已知二次函數(shù).當(dāng)時.有.求證:當(dāng)時.有 解析:由題意知:. ∴ . ∴ . 由時.有.可得 . ∴ , . (1)若.則在上單調(diào).故當(dāng)時. ∴ 此時問題獲證. (2)若.則當(dāng)時. 又. ∴ 此時問題獲證. 綜上可知:當(dāng)時.有. 點(diǎn)評:研究的性質(zhì).最好能夠得出其解析式.從這個意義上說.應(yīng)該盡量用已知條件來表達(dá)參數(shù). 確定三個參數(shù).只需三個獨(dú)立條件.本題可以考慮...這樣做的好處有兩個:一是的表達(dá)較為簡潔.二是由于正好是所給條件的區(qū)間端點(diǎn)和中點(diǎn).這樣做能夠較好地利用條件來達(dá)到控制二次函數(shù)范圍的目的. 要考慮在區(qū)間上函數(shù)值的取值范圍.只需考慮其最大值.也即考慮在區(qū)間端點(diǎn)和頂點(diǎn)處的函數(shù)值. 題型7:二次函數(shù)的圖像與性質(zhì) 例13．在下列圖象中.二次函數(shù)y=ax2+bx與指數(shù)函數(shù)y=()x的圖象只可能是( ) 解析一:由指數(shù)函數(shù)圖象可以看出0<<1.拋物線方程是y=a(x+)2-.其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-.-).又由0<<1.可得-<-<0.觀察選擇支.可選A. 解析二:求y=ax2+bx與x軸的交點(diǎn).令ax2+bx=0.解得x=0或x=-.而-1<-<0.故選A. 點(diǎn)評:本題雖小.但一定要細(xì)致觀察圖象.注意細(xì)微之處.獲得解題靈感. 例14．設(shè)a∈R.函數(shù)f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R. (1)討論f(x)的奇偶性 (2)求f(x)的最小值. 解:(1)顯然a=0時.f(x)為偶函數(shù). 當(dāng)a≠0時.f(a)=a2+1, f(-a)=a2+2|a|+1 f(a)≠f(-a), f(a)+f(-a)≠0 ∴ 此時f(x)為非奇非偶函數(shù). (2)首先應(yīng)先去掉絕對值.再進(jìn)行討論. ①當(dāng)x≤a時.. 若,則f(x)在區(qū)間(-∞.a]上單調(diào)遞減. ∴ f(x)的最小值為f(a)=a2+1. 若.則f(x)在區(qū)間(-∞.a]上的最小值為. ②當(dāng)x≥a時.. 若.則f(x)在[a,+∞]上的最小值為. 若.則f(x)在[a,+∞]上單調(diào)遞增. 則f(x)在[a,+∞]上的最小值為f(a)=a2+1.. 綜上.當(dāng)時.f(x)最小值為. 當(dāng)時.f(x)最小值為a2+1. 當(dāng)時.f(x)最小值為. 點(diǎn)評:該題考察到函數(shù)的圖像與性質(zhì)的綜合應(yīng)用.考察了分類討論的思想. 題型8:二次函數(shù)的綜合問題 例15．已知函數(shù)和的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.且. (Ⅰ)求函數(shù)的解析式, (Ⅱ)解不等式, (Ⅲ)若在上是增函數(shù).求實數(shù)的取值范圍. 解析:(Ⅰ)設(shè)函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為.則 ∵點(diǎn)在函數(shù)的圖象上 ∴ (Ⅱ)由 當(dāng)時..此時不等式無解. 當(dāng)時..解得. 因此.原不等式的解集為. (Ⅲ) ① ② ⅰ) ⅱ) 點(diǎn)評:本題主要考查函數(shù)圖象的對稱.二次函數(shù)的基本性質(zhì)與不等式的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識.以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識分析和解決問題的能力. 例16．已知函數(shù). (1)將的圖象向右平移兩個單位.得到函數(shù).求函數(shù)的解析式, (2)函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.求函數(shù)的解析式, (3)設(shè).已知的最小值是且.求實數(shù)的取值范圍. 解析:(1) (2)設(shè)的圖像上一點(diǎn).點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為.由點(diǎn)Q在的圖像上.所以 . 于是 即 (3). 設(shè).則. 問題轉(zhuǎn)化為:對恒成立. 即 對恒成立. (*) 故必有.(否則.若.則關(guān)于的二次函數(shù)開口向下.當(dāng)充分大時.必有,而當(dāng)時.顯然不能保證.此時.由于二次函數(shù)的對稱軸.所以.問題等價于.即. 解之得:. 此時..故在取得最小值滿足條件. 點(diǎn)評:緊扣二次函數(shù)的頂點(diǎn)式對稱軸.最值.判別式顯合力. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知二次方程x2＋2ax－b2＋1＝0在區(qū)間[－1，1]上任取兩個實數(shù)a，b

(1)求方程的根都是正實數(shù)的概率；

(2)求|a|，|b|與1可以構(gòu)成鈍角三角形三邊長的概率．

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若實數(shù)m，n為關(guān)于x的一元二次方程Ax2＋Bx＋C＝0的兩個實數(shù)根，則有Ax2＋Bx＋C＝A(x－m)(x－n)，由系數(shù)可得：m＋n＝－，且m·n＝．設(shè)x1，x2，x3為關(guān)于x的方程f(x)＝x3－ax2＋bx－c＝0，(a，b，c∈R)的三個實數(shù)根．

(1)寫出三次方程的根與系數(shù)的關(guān)系；即x1＋x2＋x3＝_________；x1x2＋x2x3＋x3x1＝_________；x1·x2·x3＝_________

(2)若a，b，c均大于零，試證明：x1，x2，x3都大于零

(3)若a∈Z，b∈Z，|b|＜2，f(x)在x＝α，x＝β處取得極值，且－1＜α＜β＜1，求方程f(x)＝0三個實根兩兩不相等時，實數(shù)c的取值范圍．

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（2012•宿州三模）已知f（x）是以2為周期的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=x，那么在區(qū)間[-1，3]內(nèi)關(guān)于x的f（x）=kx+k+1（k∈R，且k≠1）方程的根的個數(shù)（　�。�

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已知f（x）是以2為周期的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=x，那么在區(qū)間[-1，3]內(nèi)關(guān)于x的f（x）=kx+k+1（k∈R，且k≠1）方程的根的個數(shù)（ ）
A．不可能有3個
B．最少有1個，最多有4個
C．最少有1個，最多有3個
D．最少有2個，最多有4個

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已知f（x）是以2為周期的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=x，那么在區(qū)間[-1，3]內(nèi)關(guān)于x的f（x）=kx+k+1（k∈R，且k≠1）方程的根的個數(shù)


  1. A.
    不可能有3個
  2. B.
    最少有1個，最多有4個
  3. C.
    最少有1個，最多有3個
  4. D.
    最少有2個，最多有4個

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