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題型1:作圖 例1．如圖所示.單位圓中弧AB的長為x,f(x)表示弧AB與弦AB所圍成的弓形面積的2倍.則函數(shù)y=f(x)的圖象是( ) 解析:顯然當(dāng)時.陰影部分的面積等于圓的面積減去以圓的半徑為腰的等腰直角三角形的面積..即點在直線的下方.故應(yīng)在C.D中選擇.而當(dāng)當(dāng)時.陰影部分的面積等于圓的面積加上以圓的半徑為腰的等腰直角三角形的面積..即點在直線的上方.故應(yīng)選擇D. 點評:該題屬于實際應(yīng)用的題目.結(jié)合函數(shù)值變化的趨勢和一些特殊點函數(shù)值解決問題即可.要明確函數(shù)圖像與函數(shù)自變量.變量值的對應(yīng)關(guān)系.特別是函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)圖象個關(guān)系, 例2．在下列圖象中.二次函數(shù)y=ax2+bx與指數(shù)函數(shù)y=()x的圖象只可能是( ) 解析一:由指數(shù)函數(shù)圖象可以看出0<<1.拋物線方程是y=a(x+)2-.其頂點坐標(biāo)為(-.-).又由0<<1.可得-<-<0.觀察選擇支.可選A. 解析二:求y=ax2+bx與x軸的交點.令ax2+bx=0.解得x=0或x=-.而-1<-<0.故選A. 點評:本題主要考查二次函數(shù).指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì).源于課本.考查基本知識.難度不大.本題雖小.但一定要細(xì)致觀察圖象.注意細(xì)微之處.獲得解題靈感. 題型2:識圖 例3．某地一年內(nèi)的氣溫與時間之間的關(guān)系如圖所示.已知該年的平均氣溫為10℃.令表示時間段的平均氣溫.與之間的函數(shù)關(guān)系用下圖表示.則正確的應(yīng)該是( ) 解析:平均氣溫10℃與函數(shù)圖像有兩個交點.觀察圖像可知兩交點的兩側(cè)都低于平均氣溫. 而中間高于平均氣溫.時間段內(nèi)的平均氣溫.應(yīng)該從開始持續(xù)到平均氣溫左交點向右一段距離才開始達(dá)到平均氣溫.持續(xù)上升一段時間.最后回落到平均氣溫.答案A. 點評:聯(lián)系生活.體會變量間的相互關(guān)系.重視觀察圖像的變化趨勢.結(jié)合導(dǎo)數(shù)的知識處理實際問題. 例4．一般地.家庭用電量有一定的關(guān)系.如圖2-1所示.圖(1)表示某年12個月中每月的平均氣溫.圖(2)表示某家庭在這年12個月中每個月的用電量.根據(jù)這些信息.以下關(guān)于該家庭用電量與其氣溫間關(guān)系的敘述中.正確的是( ) 圖 A．氣溫最高時.用電量最多 B．氣溫最低時.用電量最少 C．當(dāng)氣溫大于某一值時.用電量隨氣溫增高而增加 D．當(dāng)氣溫小于某一值時.用電量隨氣溫漸低而增加 解析:經(jīng)比較可發(fā)現(xiàn).2月份用電量最多.而2月份氣溫明顯不是最高.因此A項錯誤.同理可判斷出B項錯誤.由5.6.7三個月的氣溫和用電量可得出C項正確. 點評:該題考查對圖表表達(dá)的函數(shù)的識別和理解能力.要從題目解說入手.結(jié)合圖像和實際解決問題. 題型3:函數(shù)的圖象變換 例5．函數(shù)y=1-的圖象是( ) 解析一:該題考查對f(x)=圖象以及對坐標(biāo)平移公式的理解.將函數(shù)y=的圖形變形到y(tǒng)=.即向右平移一個單位.再變形到y(tǒng)=-即將前面圖形沿x軸翻轉(zhuǎn).再變形到y(tǒng)=-+1.從而得到答案B. 解析二:可利用特殊值法.取x=0.此時y=1.取x=2.此時y=0.因此選B. 點評:借助函數(shù)圖像的變換規(guī)則解決實際問題. 例6．在同一平面直角坐標(biāo)系中.函數(shù)和的圖象關(guān)于直線對稱.現(xiàn)將的圖象沿軸向左平移2個單位.再沿軸向上平移1個單位.所得的圖象是由兩條線段組成的折線.則函數(shù)的表達(dá)式為( ) A． B． C． D． 解析:原函數(shù)的圖像仍然是由兩條折線段組成.折線段的端點向下平移1個單位是端點.再向右平移2個單位端點為.關(guān)于直線對稱后折線段端點為.答案A. 點評:該題是應(yīng)用函數(shù)圖象變換求函數(shù)解析式.由函數(shù)圖像的變換的函數(shù)的性質(zhì)逆向變換既可.注意函數(shù)圖像的變換中平移.對稱都不會改變原來函數(shù)的形狀. 題型4:函數(shù)圖象應(yīng)用 例7．函數(shù)與的圖像如下圖:則函數(shù)的圖像可能是( ) 解析:∵函數(shù)的定義域是函數(shù)與的定義域的交集.圖像不經(jīng)過坐標(biāo)原點.故可以排除C.D. 由于當(dāng)x為很小的正數(shù)時且.故.∴選A. 點評:明確函數(shù)圖像在x軸上下方與函數(shù)值符號改變的關(guān)系.數(shù)值相乘“同號為正.異號為負(fù) . 例8．已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d的圖象如圖.求b的范圍. 解法一:觀察f(x)的圖象.可知函數(shù)f(x)的圖象過原點.即f(0)=0,得d=0. 又f(x)的圖象過(1.0). ∴f(x)=a+b+c ① 又有f(-1)＜0.即-a+b-c＜0 ② ①+②得b＜0.故b的范圍是 解法二:如圖f(0)=0有三根0.1.2. ∴f(x)=ax3+bx2+cx+d=ax(x-1)(x-2)=ax3-3ax2+2ax. ∴b=-3a. ∵當(dāng)x>2時.f(x)>0.從而有a>0. ∴b＜0. 點評:通過觀察函數(shù)圖像.變形函數(shù)解析式.得參數(shù)的取值范圍. 題型5:函數(shù)圖像變換的應(yīng)用 例9．已知.方程的實根個數(shù)為( ) A．2 B．3 C．4 D．2或3或4 根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系.知方程的根的個數(shù)即為函數(shù)與函數(shù)的圖像交點的個數(shù). 該題通過作圖很可能選錯答案為A.這是我們作圖的易錯點.若作圖標(biāo)準(zhǔn)的話.在同一個直角坐標(biāo)系下畫出這兩個函數(shù)的圖像.由圖知當(dāng)時.圖像的交點個數(shù)為3個,當(dāng)時.圖像的交點個數(shù)為4個,當(dāng)時.圖像的交點個數(shù)為2個.選項為D. 點評:該題屬于“數(shù)形結(jié)合 的題目.解題思路是將“函數(shù)的零點 問題轉(zhuǎn)化為“函數(shù)的交點問題 .借助函數(shù)的圖象以及函數(shù)的圖象變換規(guī)則求得結(jié)果即可. 例10．設(shè).若.且.則的取值范圍是( ) A． B． C． D． 解析:保留函數(shù)在x軸上方的圖像.將其在x軸下方的圖像翻折到x軸上方區(qū)即可得到函數(shù)的圖像. 通過觀察圖像.可知在區(qū)間上是減函數(shù).在區(qū)間上是增函數(shù).由.且可知.所以..從而.即.又.所以.選項為A. 點評:考察函數(shù)圖像的翻折變換.體現(xiàn)了數(shù)學(xué)由簡到繁的原則.通過研究函數(shù)的圖像和性質(zhì).進(jìn)而得到的圖像和性質(zhì). 題型6:冪函數(shù)概念及性質(zhì) 例11．函數(shù)互質(zhì))圖像如圖所示.則( ) A．均為奇數(shù) B．一奇一偶 C．均為奇數(shù) D．一奇一偶 解析:該題考察了冪函數(shù)的性質(zhì).由于冪函數(shù)在第一象限的圖像趨勢表明函數(shù)在上單調(diào)遞減.此時只需保證.即.有,同時函數(shù)只在第一象限有圖像.則函數(shù)的定義域為.此時定為偶數(shù).即為偶數(shù).由于兩個數(shù)互質(zhì).則定為奇數(shù). 答案:選項為B. 點評:該題突破了傳統(tǒng)借形言數(shù)思路.屬于“由圖形得解析式 的題目.為此需要分清冪函數(shù)在幾種不同情況下函數(shù)的圖像的特點.更甚至在同一種情形下取不同數(shù)值對函數(shù)圖像的影響也要了解. 例12．畫出函數(shù)的圖象.試分析其性質(zhì). 解析:先要找出它是哪一種函數(shù)平移而來的.它應(yīng)是由反比例函數(shù)平移而來.(這種變換是解決這類問題的關(guān)鍵).由此說明.是由圖象向右平移3個單位.再向下平移2個單位得到的.如圖所示:具體畫圖時對于圖象與坐標(biāo)軸的交點位置要大致準(zhǔn)確.即.故圖象一定過和兩個關(guān)鍵點. 再觀察其圖象可以得到如下性質(zhì):定義域.單調(diào)區(qū)間上單調(diào)遞增,既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).但是圖象是中心對稱圖形.對稱中心是. 點評:冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解決該類問題基礎(chǔ).注意此題兩個增區(qū)間之間不能用并集號. 題型7:抽象函數(shù)問題 例13．函數(shù)的定義域為D:且滿足對于任意.有 (Ⅰ)求的值, (Ⅱ)判斷的奇偶性并證明, (Ⅲ)如果上是增函數(shù).求x的取值范圍. (Ⅰ)解:令 (Ⅱ)證明:令 令 ∴為偶函數(shù). (Ⅲ) ∴ (1) ∵上是增函數(shù). ∴(1)等價于不等式組: ∴ ∴x的取值范 圍為 點評:以抽象函數(shù)為模型.考查函數(shù)概念.圖象函數(shù)的奇偶性和周期性以及數(shù)列極限等知識.還考查運算能力和邏輯思維能力.認(rèn)真分析處理好各知識的相互聯(lián)系.抓住條件f(x1+x2)＝f(x1)·f(x2)找到問題的突破口.由f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)變形為是解決問題的關(guān)鍵. 例14．設(shè)函數(shù) 上滿足.且在閉區(qū)間[0.7]上.只有 (Ⅰ)試判斷函數(shù)的奇偶性, (Ⅱ)試求方程在閉區(qū)間[-2005.2005]上的根的個數(shù).并證明你的結(jié)論. 解析:(Ⅰ)由 . 從而知函數(shù)的周期為 又. .所以 故函數(shù)是非奇非偶函數(shù), (II) 又 故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有兩個解. 從而可知函數(shù)在[0,2005]上有402個解. 在[-2005.0]上有400個解,所以函數(shù)在[-2005,2005]上有802個解. 點評:充分利用函數(shù)的數(shù)字特征.并將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)的性質(zhì).再來解題. 題型8:函數(shù)圖象綜合問題 例15．如圖.點A.B.C都在函數(shù)y=的圖象上.它們的橫坐標(biāo)分別是a.a+1.a+2.又A.B.C在x軸上的射影分別是A′.B′.C′,記△AB′C的面積為f(a).△A′BC′的面積為g(a). (1)求函數(shù)f(a)和g(a)的表達(dá)式, (2)比較f(a)與g(a)的大小.并證明你的結(jié)論. 解: (1)連結(jié)AA′.BB′.CC′, 則f(a)=S△AB′C=S梯形AA′C′C-S△AA′B′-S△CC′B =(A′A+C′C)=(), g(a)=S△A′BC′=A′C′·B′B=B′B=. ∴f(a)<g(a). 點評:本題考查函數(shù)的解析式.函數(shù)圖象.識圖能力.圖形的組合等.充分借助圖象信息.利用面積問題的拆拼以及等價變形找到問題的突破口.解題思路:圖形面積不會拆拼.數(shù)形結(jié)合.等價轉(zhuǎn)化. 例16．設(shè)曲線的方程是.將沿軸.軸正方向分別平移.個單位長度后得到曲線. (1)寫出曲線的方程, (2)證明曲線與關(guān)于點對稱, (3)如果曲線與有且僅有一個公共點.證明: 解析:(1)曲線的方程為, (2)證明:在曲線上任意取一點. 設(shè)是關(guān)于點的對稱點.則有. ∴. 代入曲線的方程.得的方程:. 即可知點在曲線上. 反過來.同樣證明.在曲線上的點的對稱點在曲線上. 因此.曲線與關(guān)于點對稱. (3)證明:因為曲線與有且僅有一個公共點. ∴方程組有且僅有一組解. 消去.整理得.這個關(guān)于的一元二次方程有且僅有一個根. ∴.即得. 因為.所以. 點評:充分利用函數(shù)圖像變換的原則.解決復(fù)合問題. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

例1．在△ABC內(nèi)，求一點P，使
AP2
+
BP2
+
CP2
最小．

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例1．已知點A（-1，-4），B（5，2），線段AB上的三等分點依次為P1、P2，求P1，P2的坐標(biāo)以及A，B分
P1P2
所成的比λ.

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例1．x、y、a、b∈R+，a、b為常數(shù)，且
a
x
+
b
y
=1，求x+y的最小值．

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5、例1：給出命題“已知a、b、c、d是實數(shù)，若a=b，c=d，則a+c=b+d”，對其原命題、逆命題、否命題、逆否命題而言，真命題有（　�。�

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如圖有三根針和套在一根針上的n（n∈N*）個金屬片．按下列規(guī)則，把金屬片從一根針上全部移到另一根針上． 
1．每次只能移動1個金屬片；                      
2．較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面．
現(xiàn)用an表示把n個金屬片從中間的針移到右邊的針上所至少需要移動的次數(shù)，請回答下列問題：
（1）寫出a1，a2，a3，并求出an；
（2）記bn=an+1，求和Sn=
 
1≤i≤j≤n
bibj（i，j∈N*）；（其中
 
1≤i≤j≤n
bibj表示所有的積bibj（1≤i≤j≤n）的和．例：
 
1≤i≤j≤2
bibj=
b
2
1
+b1b2+
b
2
2
=
1
2
[（b1+b2）2+（
b
2
1
+
b
2
2
）]
（3）證明：
1
7
≤
S1
S2
+
S1S3
S2S4
+…+
S1S3…S2n-1
S2S4…S2n  
＜
4
21
（n∈N*）

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