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題型1:函數概念 例1．(1)設函數 設函數f(x)＝.則滿足f(x)=的x值為 . 解:(1)這是分段函數與復合函數式的變換問題.需要反復進行數值代換. = = (2)當x∈(-∞.1.值域應為［.+∞］. 當x∈時值域應為. ∴y＝.y∈. ∴此時x∈. ∴l(xiāng)og81x＝.x＝81＝3. 點評:討論了函數的解析式的一些常用的變換技巧(賦值.變量代換.換元等等).這都是函數學習的常用基本功. 變式題:設( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解:選項為C. 例2． (1)函數對于任意實數滿足條件.若則 , (2)函數對于任意實數滿足條件.若則 . 解:(1)由得. 所以.則. (2)由得.所以.則. 點評:通過對抽象函數的限制條件.變量換元得到函數解析式.考察學生的邏輯思維能力. 題型二:判斷兩個函數是否相同 例3．試判斷以下各組函數是否表示同一函數? (1)f(x)=.g(x)=, (2)f(x)=.g(x)= (3)f(x)=.g(x)=()2n-1(n∈N*), (4)f(x)=.g(x)=, (5)f(x)=x2-2x-1.g(t)=t2-2t-1. 解:(1)由于f(x)==|x|.g(x)==x.故它們的值域及對應法則都不相同.所以它們不是同一函數, (2)由于函數f(x)=的定義域為.而g(x)=的定義域為R.所以它們不是同一函數, (3)由于當n∈N*時.2n±1為奇數. ∴f(x)==x.g(x)=()2n-1=x.它們的定義域.值域及對應法則都相同.所以它們是同一函數, (4)由于函數f(x)=的定義域為{x|x≥0}.而g(x)=的定義域為{x|x≤-1或x≥0}.它們的定義域不同.所以它們不是同一函數, (5)函數的定義域.值域和對應法則都相同.所以它們是同一函數. 點評:對于兩個函數y=f(x)和y=g(x).當且僅當它們的定義域.值域.對應法則都相同時.y=f(x)和y=g(x)才表示同一函數若兩個函數表示同一函數.則它們的圖象完全相同.反之亦然. 小題易錯判斷成它們是不同的函數.原因是對函數的概念理解不透要知道.在函數的定義域及對應法則f不變的條件下.自變量變換字母.以至變換成其他字母的表達式.這對于函數本身并無影響.比如f(x)=x2+1.f(t)=t2+1.f(u+1)=(u+1)2+1都可視為同一函數.(2)對于兩個函數來講.只要函數的三要素中有一要素不相同.則這兩個函數就不可能是同一函數. 題型三:函數定義域問題 例4．求下述函數的定義域: (1), (2) 解:(1).解得函數定義域為. (2) .(先對a進行分類討論.然后對k進行分類討論). ①當a=0時.函數定義域為, ②當時.得. 1)當時.函數定義域為. 2)當時.函數定義域為. 3)當時.函數定義域為, ③當時.得. 1)當時.函數定義域為. 2)當時.函數定義域為. 3)當時.函數定義域為. 點評:在這里只需要根據解析式有意義.列出不等式.但第(2)小題的解析式中含有參數.要對參數的取值進行討論.考察學生分類討論的能力. 例5．已知函數定義域為(0.2).求下列函數的定義域: (1) ,(2). 解:(1)由0＜x＜2. 得 點評:本例不給出f(x)的解析式.即由f(x)的定義域求函數f[g(x)]的定義域關鍵在于理解復合函數的意義.用好換元法,求函數定義域的第三種類型是一些數學問題或實際問題中產生的函數關系.求其定義域.后面還會涉及到. 變式題:已知函數f(x)=的定義域是R.則實數a的取值范圍是( ) A．a＞ B．-12＜a≤0 C．-12＜a＜0 D．a≤ 解:由a=0或可得-12＜a≤0.答案B. 題型四:函數值域問題 例5．求下列函數的值域: (1),(2),(3), (4),(5),(6), (7),(8),(9). 解:. ∴的值域為. 改題:求函數.的值域. 解:函數在上單調增. ∴當時.原函數有最小值為,當時.原函數有最大值為. ∴函數.的值域為. (2)求復合函數的值域: 設().則原函數可化為. 又∵. ∴.故. ∴的值域為. 反函數法: 的反函數為.其定義域為. ∴原函數的值域為. 分離變量法:. ∵.∴. ∴函數的值域為. :設.則. ∴原函數可化為.∴. ∴原函數值域為. 注:總結型值域. 變形:或 (5)三角換元法: ∵.∴設. 則 ∵.∴.∴. ∴. ∴原函數的值域為. (6)數形結合法:. ∴.∴函數值域為. (7)判別式法:∵恒成立.∴函數的定義域為. 由得: ① ①當即時.①即.∴ ②當即時.∵時方程恒有實根. ∴△. ∴且. ∴原函數的值域為. (8). ∵.∴. ∴. 當且僅當時.即時等號成立. ∴. ∴原函數的值域為. 方程法:原函數可化為:. ∴(其中). ∴. ∴. ∴. ∴. ∴原函數的值域為. 點評:上面討論了用初等方法求函數值域的一些常見類型與方法.在現行的中學數學要求中.求值域要求不高.要求較高的是求函數的最大與最小值.在后面的復習中要作詳盡的討論. 題型五:函數解析式 例6．(1)已知.求, (2)已知.求, (3)已知是一次函數.且滿足.求, (4)已知滿足.求. 解:(1)∵. ∴(或). (2)令().則. ∴.. (3)設. 則. ∴.. ∴. (4) ①. 把①中的換成.得 ②. ①②得. ∴. 點評:第題用換元法,第(3)題已知一次函數.可用待定系數法,第(4)題用方程組法. 例7．已知定義域為R的函數f(x)滿足f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x. (Ⅰ)若f(2)=3,求f(1),又若f(0)=a,求f(a), (Ⅱ)設有且僅有一個實數x0.使得f(x0­)= x0.求函數f(x)的解析表達式. 解:(Ⅰ)因為對任意x∈R.有f(f(x)-x2 + x)=f(x)-x2 +x. 所以f(f(2)-22+2)=f(2)-22+2. 又由f(2)=3.得f(3-22+2)-3-22+2.即f(1)=1. 若f(0)=a.則f(a-02+0)=a-02+0.即f(a)=a. (Ⅱ)因為對任意x∈R.有f(f(x))- x2 +x)=f(x)- x2 +x. 又因為有且只有一個實數x0,使得f(x0)- x0. 所以對任意x∈R.有f(x)- x2 +x= x0.. 在上式中令x= x0.有f(x0)-x + x0= x0. 又因為f(x0)- x0.所以x0-x=0.故x0=0或x0=1. 若x0=0.則f(x)- x2 +x=0.即f(x)= x2 –x. 但方程x2 –x=x有兩上不同實根.與題設條件矛質.故x2≠0. 若x2=1.則有f(x)- x2 +x=1.即f(x)= x2 –x+1. 易驗證該函數滿足題設條件. 綜上.所求函數為f(x)= x2 –x+1(xR). 點評:該題的題設條件是一個抽象函數.通過應用條件進一步縮小函數的范圍得到函數的解析式.這需要考生有很深的函數理論功底. 題型六:函數應用 例8．某租賃公司擁有汽車100輛.當每輛車的月租金為3000元時.可全部租出.當每輛車的月租金每增加50元時.未租出的車將會增加一輛.租出的車每輛每月需要維護費150元.未租出的車每輛每月需要維護費50元. (1)當每輛車的月租金定為3600元時.能租出多少輛車? (2)當每輛車的月租金定為多少元時.租賃公司的月收益最大?最大月收益是多少? 解:(1)當每輛車的月租金定為3600元時.未租出的車輛數為: =12.所以這時租出了88輛車. (2)設每輛車的月租金定為x元.則租賃公司的月收益為: f(x)=(100-)(x-150)-×50. 整理得:f(x)=-+162x-21000=-(x-4050)2+307050. 所以.當x=4050時.f(x)最大.其最大值為f=307050. 即當每輛車的月租金定為4050元時.租賃公司的月收益最大.最大收益為307050元. 點評:根據實際問題求函數表達式.是應用函數知識解決實際問題的基礎.在設定或選定變量去尋求等量關系并求得函數表達式后.還要注意函數定義域常受到實際問題本身的限制. 例9．對1個單位質量的含污物體進行清洗.清洗前其清潔度(含污物體的清潔度定義為:為.要求清洗完后的清潔度為.有兩種方案可供選擇.方案甲:一次清洗,方案乙:分兩次清洗.該物體初次清洗后受殘留水等因素影響.其質量變?yōu)?設用單位質量的水初次清洗后的清潔度是.用單位質量的水第二次清洗后的清潔度是.其中是該物體初次清洗后的清潔度. (Ⅰ)分別求出方案甲以及時方案乙的用水量.并比較哪一種方案用水量較少, (Ⅱ)若采用方案乙, 當為某固定值時, 如何安排初次與第二次清洗的用水量.使總用水量最小? 并討論取不同數值時對最少總用水量多少的影響. 解:(Ⅰ)設方案甲與方案乙的用水量分別為x與z. 由題設有=0.99.解得x=19. 由得方案乙初次用水量為3, 第二次用水量y滿足方程: 解得y=4,故z=4+3.即兩種方案的用水量分別為19與4+3. 因為當,故方案乙的用水量較少. (II)設初次與第二次清洗的用水量分別為與.類似(I)得 .(*) 于是+ 當為定值時,, 當且僅當時等號成立. 此時 將代入(*)式得 故時總用水量最少, 此時第一次與第二次用水量分別為. 最少總用水量是. 當, 故T()是增函數(也可以用二次函數的單調性判斷).這說明,隨著的值的最少總用水量, 最少總用水量最少總用水量. 點評:本題貼近生活.要求考生讀懂題目.迅速準確建立數學模型.把實際問題轉化為數學問題并加以解決.該題典型代表高考的方向. 題型7:課標創(chuàng)新題 例10．(1)設.其中a.b.c.d是常數. 如果求, (2)若不等式對滿足的所有m都成立.求x的取值范圍. 解:(1)構造函數則故: (2)原不等式可化為 構造函數.其圖象是一條線段. 根據題意.只須: 即 解得. 點評:上面兩個題目通過重新構造函數解決了實際問題.體現了函數的工具作用. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

對于定義域為D的函數y=f（x），如果存在區(qū)間[m，n]⊆D，同時滿足：
①f（x）在[m，n]內是單調函數；
②當定義域是[m，n]時，f（x）的值域也是[m，n]．則稱[m，n]是該函數的“和諧區(qū)間”．
（1）求證：函數y=g(x)=3-
5
x
不存在“和諧區(qū)間”．
（2）已知：函數y=
(a2+a)x-1
a2x
（a∈R，a≠0）有“和諧區(qū)間”[m，n]，當a變化時，求出n-m的最大值．
（3）易知，函數y=x是以任一區(qū)間[m，n]為它的“和諧區(qū)間”．試再舉一例有“和諧區(qū)間”的函數，并寫出它的一個“和諧區(qū)間”．（不需證明，但不能用本題已討論過的y=x及形如y=
bx+c
ax
的函數為例）

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在函數概念的發(fā)展過程中，德國數學家狄利克雷（Dirichlet，1805--1859）功不可沒．19世紀，狄利克雷定義了一個“奇怪的函數”：y=f(x)=
1，x為有理數
0，x為無理數.
，這個函數后來被稱為狄利克雷函數．下面對此函數性質的描述中不正確的是（　�。�

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(文)設是定義在R上的任一函數，

(1)求證：為奇函數；為偶函數；

(2)請你根據(Ⅰ)以任一定義在R上的函數為例，構造出一個奇函數和一個偶函數.

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對于定義域為D的函數y=f（x），如果存在區(qū)間[m，n]⊆D，同時滿足：
①f（x）在[m，n]內是單調函數；
②當定義域是[m，n]時，f（x）的值域也是[m，n]．則稱[m，n]是該函數的“和諧區(qū)間”．
（1）求證：函數不存在“和諧區(qū)間”．
（2）已知：函數（a∈R，a≠0）有“和諧區(qū)間”[m，n]，當a變化時，求出n-m的最大值．
（3）易知，函數y=x是以任一區(qū)間[m，n]為它的“和諧區(qū)間”．試再舉一例有“和諧區(qū)間”的函數，并寫出它的一個“和諧區(qū)間”．（不需證明，但不能用本題已討論過的y=x及形如的函數為例）

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對于定義域為D的函數y=f（x），如果存在區(qū)間[m，n]⊆D，同時滿足：
①f（x）在[m，n]內是單調函數；
②當定義域是[m，n]時，f（x）的值域也是[m，n]．則稱[m，n]是該函數的“和諧區(qū)間”．
（1）求證：函數不存在“和諧區(qū)間”．
（2）已知：函數（a∈R，a≠0）有“和諧區(qū)間”[m，n]，當a變化時，求出n-m的最大值．
（3）易知，函數y=x是以任一區(qū)間[m，n]為它的“和諧區(qū)間”．試再舉一例有“和諧區(qū)間”的函數，并寫出它的一個“和諧區(qū)間”．（不需證明，但不能用本題已討論過的y=x及形如的函數為例）

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