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例1如圖.已知正方形ABCD的邊長為4.E.F分別是AB.AD的中點.GC⊥平面ABCD.且GC＝2.求點B到平面EFG的距離．分析:由題設(shè)可知CG.CB.CD兩兩互相垂直.可以由此建立空間直角坐標(biāo)系．用向量法求解.就是求出過B且垂直于平面EFG的向量.它的長即為點B到平面EFG的距離．解:如圖.設(shè)4i.4j.2k. 以i.j.k為坐標(biāo)向量建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz．由題設(shè)C.B.E.G． ∴ .. .. ．設(shè)平面EFG.M為垂足.則M.G.E.F四點共面.由共面向量定理知.存在實數(shù)a.b.c.使得. ∴ ＝(2a+4b,-2b-4c,2c)．由平面EFG.得..于是 .． ∴ 整理得:.解得． ∴ ＝(2a+4b,-2b-4c,2c)＝． ∴ 故點B到平面EFG的距離為．說明:用向量法求點到平面的距離.常常不必作出垂線段.只需利用垂足在平面內(nèi).共面向量定理.兩個向量垂直的充要條件解出垂線段對應(yīng)的向量就可以了．例2 已知正方體ABCD-的棱長為1.求直線與AC的距離．分析:設(shè)異面直線.AC的公垂線是直線l.則線段在直線l上的射影就是兩異面直線的公垂線段.所以此題可以利用向量的數(shù)量積的幾何意義求解．解:如圖.設(shè)i.j.k.以i.j.k為坐標(biāo)向量建立空間直角坐標(biāo)系-xyz. 則有...． ∴ ..．設(shè)n是直線l方向上的單位向量.則． ∵ n.n. ∴ .解得或．取n.則向量在直線l上的投影為 n··．由兩個向量的數(shù)量積的幾何意義知.直線與AC的距離為．例3 如圖.已知線段AB在平面α內(nèi).線段.線段BD⊥AB.線段..如果AB＝a.AC＝BD＝b.求C.D間的距離．解:由.可知．由可知.＜＞＝. ∴＝＝+++2(++) ＝＝． ∴．小結(jié):選定空間同起點且不公面的三個向量作為一個基底.并用它表示指定的向量.是用向量知識解決立體幾何問題的基本要領(lǐng)．解題中要結(jié)合已知和未知去觀察圖形.聯(lián)想有關(guān)的運算法則和公式等.就近表示所需的向量.再對照目標(biāo)將不符合要求的向量加以調(diào)整.如此反復(fù).直至所有向量符合目標(biāo)要求．例4．如果一條直線與一個平面平行那麼過這個平面內(nèi)的一點與這條直線平行的直線必在這個平面內(nèi) 已知:a∥α.AÎa.AÎb且a∥b 求證:bÌa 證明:假設(shè)bËa過A點和a確定平面為b. b∩a=b1.b1Ìa.AÎb1 ∵a∥α ∴a∥b1 由a∥b而b.b1都過點A 這樣.在平面a內(nèi)過A有兩條直線b和b1都平行于a 這是不可能的 ∴bÌa 例5．正方形ABCD和正方形ABEF所在平面互相垂直.點M.N分別在對角線AC和BF上.且AM=FN 求證:MN∥平面BEC 分析:證線面平行Ü線線平行.需找出面BEC中與MN平行的直線證法(一):作NK∥AB交BE于K.作MH∥AB交BC于H ∴MH∥NK ∵ABCD與ABEF是兩個有公共邊AB的正方形 ∴它們是全等正方形 ∵AM=FN ∴CM=BN 又∠HCM=∠KBN.∠HMC=∠KNB ∴△HCM≌△KBN ∴MH=NK ∴MHKN是平行四邊形 ∴MN∥HK ∵HKÌ平面BEC MNË平面BEC ∴MN∥平面BEC 證法(二):分析:利用面面平行Þ線面平行過N作NP∥BE.連MP.∵NP∥AF ∴FN/FB=AP/AB ∴AM=FN.AC=BF ∴FN/FB=AM/AC ∴AP/AB=AM/AC ∴MP∥BC ∴平面MNP∥平面BCE ∴MN∥平面BCE 例6．在三棱錐P-ABC中.三條側(cè)棱PA.PB.PC兩兩垂直.H是△ABC的垂心求證:⑴PH^底面ABC ⑵△ABC是銳角三角形證明:⑴∵PA^PB PA^PC且PB∩PC=P ∴PA^側(cè)面PBC 又∵BCÌ平面PBD ∴PA^BC ∵H是△ABC的垂心 ∴AH^BC ∵PA∩AH=A ∴BC^截面PAH 又PHÌ平面PAH ∴BC^PH 同理可證:AB^PH 又ABÇBC=B ∴PH^面ABC ⑵設(shè)AH與直線BC的交點為E.連接PE 由⑴知PH^底面ABC ∴AE為PE在平面ABC的射影由三垂線定理:PE^BC ∵PB^PC即△BPC是直角三角形.BC為斜邊 ∴E在BC邊上由于AE^BC.故B∠C都是銳角同理可證:∠A也是銳角 ∴△ABC為銳角三角形例7．正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面三條對角線AB1.BC1.CA1中.AB1^BC1 求證:AB1^CA1 證明:取AB.A1B1中點D.D1連接CD.C1D1及A1D.BD1 由三棱柱可知.面A1B1C1^面AB1 在正△A1B1C1中.C1D1^A1B1 ∴C1D1^面AB1 (同理CD^面AB1) ∴BD1是BC1在平面AB1內(nèi)的射影 ∵AB1^BC1 ∴AB1^BD1 ∵BD1∥AD1 ∴AB1^A1D 且AD1是A1C在平面AB1內(nèi)的射影 ∴AB1^A1C 例8．在正四棱柱AC1中.底面邊長為1.側(cè)棱長為2. ⑴求D1B1與平面A1BCD1所成的角 ⑵求B1到平面A1BC1的距離分析:⑴按定義需作B1D1在平面A1BCD1上的射影.那麼在此平面上射影的位置該落何處.這就是要考慮垂足的定位問題常用方法:⑴ 過B1作A1B的垂線B1EÞB1E^平面A1BCD1 ⑵ 過B1作平面A1BCD1的垂線ÞB1EÌ平面A1BCD1ÞEÎA1B (3) 在垂面內(nèi)做垂線解:⑴ BC^AB , BC^BB1 ∴BC^面A1B∴面A1C^面A1B 過B1作B1E^A1B=E ∴B1E^平面A1BCD1 連D1E.則D1E是B1D1在平面A1BCD1上的射影故∠ B1D1E即B1D1與平面A1BCD1所成的角且在Rt△ B1ED1中.B1E=A1B1*B1B/A1B= ∴Sin∠ B1D1E= (2)解一:正方形A1B1C1D1中 , 等腰ΔBA1C1中A1C1^ B1D1 ,BO^ A1C1 ∴A1C1^面B1BO ∴面A1C1B^面B1BO ∴過B1作高線BO垂線 B1 H^ BO于H 則B1 H^面A1C1B 連A1C1.過B1作平面A1BC1的垂線.垂足為H.則B1H的長即點B1到平面A1BC1的距離. 由正棱柱性質(zhì):B1A1.B1C1.B1B兩兩垂直∴H是△A1BC1的垂心連BO則BO^A1C1 ∴HÎBO ∵B1B^底面A1C1 ∴B1B^B1O.B1H^BO B1H= (OB=) 即頂點B1到截面A1BC1的距離為解二:考察四面體B1A1BC1 設(shè)頂點B1到A1BC1的距離為h 則為三棱柱B1-A1BC1的高 VB1-A1BC1=VB-ABC1 ∴*S△A1BC1*h=*S△A1BC1*B1B ∵A1C1^BO ∴**A1C1*BO*h=**A1B1*B1C1*BB1 ∴B到平面A1BC1的距離為【查看更多】

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