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(二)恒成立問(wèn)題:解恒成立問(wèn)題常用方法:①分離參數(shù)法,②數(shù)形結(jié)合,③轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.你能清楚何時(shí)用何種方法嗎? 常見(jiàn)題型:①若在上恒成立.則,若在上恒成立.則.②若在上有解.則,若在上無(wú)解.則.(注:為常數(shù).)③在上恒成立.是對(duì)于任意的.必須大于嗎?應(yīng)該怎樣解?(不是.通常移項(xiàng).使即可,若的最值無(wú)法求出.則考慮數(shù)形結(jié)合.只需在上的圖像始終在的上方即可.) (1)一次函數(shù)型:給定一次函數(shù)y=f,若y=f>0.則根據(jù)函數(shù)的圖象可得上述結(jié)論等價(jià)于 ⅰ)或ⅱ)亦可合并定成 同理.若在[m,n]內(nèi)恒有f(x)<0.則有 (2)二次函數(shù)型:若二次函數(shù)y=ax2+bx+c=0大于0恒成立.則有 若是二次函數(shù)在指定區(qū)間上的恒成立問(wèn)題.還可以利用韋達(dá)定理以及根與系數(shù)的分布知識(shí)求解. 例1. 設(shè)f(x)=x2-2ax+2,當(dāng)x[-1,+)時(shí).都有f(x)a恒成立.求a的取值范圍. 分析:題目中要證明f(x)a恒成立.若把a(bǔ)移到等號(hào)的左邊.則把原題轉(zhuǎn)化成左邊二次函數(shù)在區(qū)間[-1,+)時(shí)恒大于0的問(wèn)題. 法一:解:設(shè)F-a=x2-2ax+2-a. ⅰ)當(dāng)=4<0時(shí).即-2<a<1時(shí).對(duì)一切x[-1,+).F(x) 0恒成立, ⅱ)當(dāng)=4 0時(shí)由圖可得以下充要條件: 即 得-3a-2; 綜合可得a的取值范圍為[-3.1]. 法二:化為求F-a=x2-2ax+2-a.在x[-1,+)上的最小值大于等于0.再對(duì)對(duì)稱軸的位置進(jìn)行討論. 法三:分離參數(shù)法:再對(duì)參數(shù)分類討論: (3)分離變量型:若在等式或不等式中出現(xiàn)兩個(gè)變量.其中一個(gè)變量的范圍已知.另一個(gè)變量的范圍為所求.且容易通過(guò)恒等變形將兩個(gè)變量分別置于等號(hào)或不等號(hào)的兩邊.則可將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問(wèn)題求解. 例2. 已知當(dāng)xR時(shí).不等式a+cos2x<5-4sinx+恒成立.求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 分析:在不等式中含有兩個(gè)變量a及x.其中x的范圍已知(xR).另一變量a的范圍即為所求.故可考慮將a及x分離. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知函數(shù)

（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在[1，2]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（Ⅱ）令g（x）= f（x）－x2，是否存在實(shí)數(shù)a，當(dāng)x∈（0，e](e是自然常數(shù))時(shí)，函數(shù)g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說(shuō)明理由；

（Ⅲ）當(dāng)x∈（0，e]時(shí)，證明：

【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。第一問(wèn)中利用函數(shù)f（x）在[1，2]上是減函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)恒小于等于零，然后分離參數(shù)求解得到a的取值范圍。第二問(wèn)中，

假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使有最小值3，利用，對(duì)a分類討論，進(jìn)行求解得到a的值。

第三問(wèn)中，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921190757897157/SYS201206192120293445381201_ST.files/image006.png">，這樣利用單調(diào)性證明得到不等式成立。

解：(Ⅰ)

(Ⅱ) 

（Ⅲ）見(jiàn)解析

 

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