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[例1]已知點T是半圓O的直徑AB上一點.AB=2.OT=(0<<1).以AB為直腰作直角梯形.使垂直且等于AT.使垂直且等于BT.交半圓于P.Q兩點.建立如圖所示的直角坐標系. (1)寫出直線的方程, (2)計算出點P.Q的坐標, (3)證明:由點P發(fā)出的光線.經(jīng)AB反射后.反射光線通過點Q. 解: (1 ) 顯然, 于是 直線的方程為, (2)由方程組 解出 ., (3), . 由直線PT的斜率和直線QT的斜率互為相反數(shù)知.由點P發(fā)出的光線經(jīng)點T反射.反射光線通過點Q. [例2]設P是圓M:(-5)2+(-5)2=1上的動點.它關于A的對稱點為Q.把P繞原點依逆時針方向旋轉90°到點S.求|SQ|的最值. 解:設P(,).則Q(18-, -).記P點對應的復數(shù)為+.則S點對應的復數(shù)為: (+)·=-+.即S(-, ) ∴ 其中可以看作是點P到定點B的距離.共最大值為最小值為.則 |SQ|的最大值為.|SQ|的最小值為. [例4]已知兩點M且點P使成公差小于零的等差數(shù)列. (1)點P的軌跡是什么曲線? (2)若點P坐標為.為的夾角.求tanθ. 解:(1)記P(, ).由M得 所以 于是. 是公差小于零的等差數(shù)列等價于 即 所以.點P的軌跡是以原點為圓心.為半徑的右半圓. (2)點P的坐標為.. 因為 0〈. 所以 . [例4]艦A在艦B的正東6千米處.艦C在艦B的北偏西30°且與B相距4千米.它們準備捕海洋動物.某時刻A發(fā)現(xiàn)動物信號.4秒后B.C同時發(fā)現(xiàn)這種信號.A發(fā)射麻醉炮彈.設艦與動物均為靜止的.動物信號的傳播速度為1千米/秒.炮彈的速度是千米/秒.其中g為重力加速度.若不計空氣阻力與艦高.問艦A發(fā)射炮彈的方位角和仰角應是多少? 分析:答好本題.除要準確地把握好點P的位置(既在線段BC的垂直平分線上.又在以A.B為焦點的拋物線上).還應對方位角的概念掌握清楚. 技巧與方法:通過建立恰當?shù)闹苯亲鴺讼?將實際問題轉化成解析幾何問題來求解.對空間物體的定位.一般可利用聲音傳播的時間差來建立方程. 解:取AB所在直線為軸.以AB的中點為原點.建立如圖所示的直角坐標系.由題意可知.A.B.C艦的坐標為.(-5.2). 由于B.C同時發(fā)現(xiàn)動物信號.記動物所在位置為P.則|PB|=|PC|.于是P在線段BC的中垂線上.易求得其方程為-3+7=0. 又由A.B兩艦發(fā)現(xiàn)動物信號的時間差為4秒.知|PB|-|PA|=4.故知P在雙曲線=1的右支上. 直線與雙曲線的交點為(8.5).此即為動物P的位置.利用兩點間距離公式.可得|PA|=10. 據(jù)已知兩點的斜率公式.得kPA=,所以直線PA的傾斜角為60°,于是艦A發(fā)射炮彈的方位角應是北偏東30°. 設發(fā)射炮彈的仰角是θ.初速度v0=.則, ∴sin2θ=,∴仰角θ=30°. 答:方位角北偏東300.仰角30°. 解決圓錐曲線綜合題.關鍵是熟練掌握每一種圓錐曲線的定義.標準方程.圖形與幾何性質(zhì).注意挖掘知識的內(nèi)在聯(lián)系及其規(guī)律.通過對知識的重新組合.以達到鞏固知識.提高能力的目的. (1)對于求曲線方程中參數(shù)的取值范圍問題.需構造參數(shù)滿足的不等式.通過求不等式(組)求得參數(shù)的取值范圍,或建立關于參數(shù)的目標函數(shù).轉化為函數(shù)的值域. (2)對于圓錐曲線的最值問題.解法常有兩種:當題目的條件和結論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義.可考慮利用數(shù)形結合法解,當題目的條件和結論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關系.則可先建立目標函數(shù).再求這個函數(shù)的最值. [例5]已知拋物線C:2=4. (1)若橢圓左焦點及相應的準線與拋物線C的焦點F及準線分別重合.試求橢圓短軸端點B與焦點F連線中點P的軌跡方程, (2)若M(m,0)是軸上的一定點.Q是(1)所求軌跡上任一點.試問|MQ|有無最小值?若有.求出其值,若沒有.說明理由. 解:由拋物線2=4,得焦點F(1,0),準線:=-1. (1)設P(,).則B(2-1,2),橢圓中心O′,則|FO′|∶|BF|=,又設點B到的距離為,則|BF|∶=,∴|FO′|∶|BF|=|BF|∶,即(2-2)2+(2)2=2(2-2),化簡得P點軌跡方程為2=-1(＞1). (2)設Q(,y),則 |MQ|= (ⅰ)當m-≤1,即m≤時.函數(shù)=[-(m-)2]+m-在上遞增.故無最小值.亦即|MQ|無最小值. (ⅱ)當m-＞1,即m＞時.函數(shù)=[2-(m-)2]+m-在=m-處有最小值m-,∴|MQ|min=. [例6]已知拋物線C的對稱軸與軸平行.頂點到原點的距離為5.若將拋物線C向上平移3個單位.則在軸上截得的線段長為原拋物線C在軸上截得的線段長的一半,若將拋物線C向左平移1個單位.則所得拋物線過原點.求拋物線C的方程. 解:設所求拋物線方程為(-)2=(-)( ∈R, ≠0) ① 由①的頂點到原點的距離為5.得=5 ② 在①中.令=0.得2-2+2+=0.設方程的二根為1,2.則 |1-2|=2. 將拋物線①向上平移3個單位.得拋物線的方程為 (-h)2=(--3) 令=0.得2-2+2++3=0.設方程的二根為3,4.則 |3-4|=2. 依題意得2=·2. 即 4(+3)= ③ 將拋物線①向左平移1個單位.得(-+1)2=(-), 由拋物線過原點.得(1-)2=- ④ 由②③④得=1.=3, =-4或=4.=-3, =-4. ∴所求拋物線方程為(-3)2=+4.或(+3)2=4(+4). 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知點T是半圓O的直徑AB上一點，AB＝2、OT＝t(0＜ｔ＜1)，以AB為直腰作直角梯形，使垂直且等于AT，使垂直且等于BT，交半圓于P、Q兩點，建立如圖所示的直角坐標系．

(Ⅰ)寫出直線的方程；

(Ⅱ)計算出點P、Q的坐標；

(Ⅲ)證明：沿PT射出的光線，經(jīng)AB反射后，反射光線通過點Q．

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已知T是半圓O的直徑AB上一點，AB=2，OT=t（0＜t＜1）．以AB為腰的直角梯形AA1B1B中，AA1垂直于AT，且|AA1|=|AT|，BB1垂直于BT，且|BB1|=|BT|，A1B1交半圓于P，Q兩點，建立如圖所示直角坐標系，O為坐標原點．
（Ⅰ）求直線A1B1的方程；               
（Ⅱ）求P，Q兩點的坐標；
（Ⅲ）證明：由點P發(fā)出的光線PT，經(jīng)AB反射后，反射光線通過點Q．

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已知T是半圓O的直徑AB上一點，AB=2，OT=t（0＜t＜1）．以AB為腰的直角梯形AA1B1B中，AA1垂直于AT，且|AA1|=|AT|，BB1垂直于BT，且|BB1|=|BT|，A1B1交半圓于P，Q兩點，建立如圖所示直角坐標系，O為坐標原點．
（Ⅰ）求直線A1B1的方程；　　　　　　　
（Ⅱ）求P，Q兩點的坐標；
（Ⅲ）證明：由點P發(fā)出的光線PT，經(jīng)AB反射后，反射光線通過點Q．

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在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計20分．請在答題紙指定區(qū)域內(nèi) 作答．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．如圖，圓O的直徑AB=6，C為圓周上一點，BC=3，過C作圓的切線l，過A作l的垂線AD，AD分別與直線l、圓交于點D、E．求∠DAC的度數(shù)與線段AE的長．
B．已知二階矩陣A=
2a
b0
屬于特征值-1的一個特征向量為
1
-3
，求矩陣A的逆矩陣．

C．已知極坐標系的極點在直角坐標系的原點，極軸與x軸的正半軸重合，曲線C的極坐標方程ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3，直線l的參數(shù)方程為
x=-
3
t
y=1+t
（t為參數(shù)，t∈{R}）．試求曲線C上點M到直線l的距離的最大值．
D．（1）設x是正數(shù)，求證：（1+x）（1+x2）（1+x3）≥8x3；
（2）若x∈R，不等式（1+x）（1+x2）（1+x3）≥8x3是否仍然成立？如果仍成立，請給出證明；如果不成立，請舉出一個使它不成立的x的值．

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在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計20分．請在答題紙指定區(qū)域內(nèi) 作答．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．如圖，圓O的直徑AB=6，C為圓周上一點，BC=3，過C作圓的切線l，過A作l的垂線AD，AD分別與直線l、圓交于點D、E．求∠DAC的度數(shù)與線段AE的長．
B．已知二階矩陣屬于特征值-1的一個特征向量為，求矩陣A的逆矩陣．

C．已知極坐標系的極點在直角坐標系的原點，極軸與x軸的正半軸重合，曲線C的極坐標方程ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，t∈{R}）．試求曲線C上點M到直線l的距離的最大值．
D．（1）設x是正數(shù)，求證：（1+x）（1+x2）（1+x3）≥8x3；
（2）若x∈R，不等式（1+x）（1+x2）（1+x3）≥8x3是否仍然成立？如果仍成立，請給出證明；如果不成立，請舉出一個使它不成立的x的值．

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