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（2013•肇慶二模）設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右焦點(diǎn)．
（1）設(shè)橢圓C上的點(diǎn)(

2

2

，

3

2

)到F₁，F(xiàn)₂兩點(diǎn)距離之和等于2

2

，寫出橢圓C的方程；
（2）設(shè)過（1）中所得橢圓上的焦點(diǎn)F₂且斜率為1的直線與其相交于A，B，求△ABF₁的面積；
（3）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C 上的任意一點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線l與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)直線PM，PN的斜率都存在，并記為k_PN，k_PN試探究k_PN•k_PN的值是否與點(diǎn)P及直線l有關(guān)，并證明你的結(jié)論．

（2011•奉賢區(qū)二模）（理）已知函數(shù)f(x)=

.

sinx cosx -sinα cosα

.

，g(x)=

.

cosx sinx sinβ cosβ

.

，α，β是參數(shù)，x∈R，α∈(-

π

2

，

π

2

)，β∈(-

π

2

，

π

2

)
（1）若α=

π

4

，β=

π

4

，判別h（x）=f（x）+g（x）的奇偶性；
若α=-

π

4

，β=

π

4

，判別h（x）=f²（x）+g²（x）的奇偶性；
（2）若α=

π

3

，t（x）=f（x）g（x）是偶函數(shù)，求β；
（3）請(qǐng)你仿照問題（1）（2）提一個(gè)問題（3），使得所提問題或是（1）的推廣或是問題（2）的推廣，問題（1）或（2）是問題（3）的特例．（不必證明命題）
將根據(jù)寫出真命題所體現(xiàn)的思維層次和對(duì)問題探究的完整性，給予不同的評(píng)分．

（2013•汕頭二模）已知?jiǎng)狱c(diǎn)P（x，y）與兩個(gè)定點(diǎn)M（-1，0），N（1，0）的連線的斜率之積等于常數(shù)λ（λ≠0）
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）試根據(jù)λ的取值情況討論軌跡C的形狀；
（3）當(dāng)λ=2時(shí)，對(duì)于平面上的定點(diǎn)E(-

3

，0)，F(xiàn)(

3

，0)，試探究軌跡C上是否存在點(diǎn)P，使得∠EPF=120°，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

（2013•崇明縣二模）已知橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

2

= 1（a＞0），其焦點(diǎn)在x軸上，點(diǎn)Q(

2

2

，

7

2

)為橢圓上一點(diǎn)．
（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x₀，y₀）滿足

OP

=

OM

+2

ON

，其中M、N是橢圓C上的點(diǎn)，直線OM與ON的斜率之積為-

1

2

，求證：

x

2 0

+2

y

2 0

為定值；
（3）在（2）的條件下探究：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)A，B，使得|PA|+|PB|為定值？若存在，給出證明；若不存在，請(qǐng)說明理由．

（2007•楊浦區(qū)二模）（理）設(shè)斜率為k₁的直線L交橢圓C：

x2

2

+y2=1于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M為弦AB的中點(diǎn)，直線OM的斜率為k₂（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，假設(shè)k₁、k₂都存在）．
（1）求k₁?k₂的值．
（2）把上述橢圓C一般化為

x2

a2

+

y2

b2

=1
（a＞b＞0），其它條件不變，試猜想k₁與k₂關(guān)系（不需要證明）．請(qǐng)你給出在雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）中相類似的結(jié)論，并證明你的結(jié)論．
（3）分析（2）中的探究結(jié)果，并作出進(jìn)一步概括，使上述結(jié)果都是你所概括命題的特例．
如果概括后的命題中的直線L過原點(diǎn)，P為概括后命題中曲線上一動(dòng)點(diǎn)，借助直線L及動(dòng)點(diǎn)P，請(qǐng)你提出一個(gè)有意義的數(shù)學(xué)問題，并予以解決．