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（本題滿分18分）

對于定義域為D的函數(shù)，如果存在區(qū)間，同時滿足：

①在內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；

②當定義域是時，的值域也是．

則稱是該函數(shù)的“和諧區(qū)間”．

（1）求證：函數(shù)不存在“和諧區(qū)間”．

（2）已知：函數(shù)（）有“和諧區(qū)間”，當變化時，求出的最大值．

（3）易知，函數(shù)是以任一區(qū)間為它的“和諧區(qū)間”．試再舉一例有“和諧區(qū)間”的函數(shù)，并寫出它的一個“和諧區(qū)間”．（不需證明，但不能用本題已討論過的及形如的函數(shù)為例）

對于定義域為D的函數(shù)y=f（x），如果存在區(qū)間[m，n]⊆D，同時滿足：
①f（x）在[m，n]內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；
②當定義域是[m，n]時，f（x）的值域也是[m，n]．則稱[m，n]是該函數(shù)的“和諧區(qū)間”．
（1）求證：函數(shù)y=g(x)=3-

5

x

不存在“和諧區(qū)間”．
（2）已知：函數(shù)y=

(a2+a)x-1

a2x

（a∈R，a≠0）有“和諧區(qū)間”[m，n]，當a變化時，求出n-m的最大值．
（3）易知，函數(shù)y=x是以任一區(qū)間[m，n]為它的“和諧區(qū)間”．試再舉一例有“和諧區(qū)間”的函數(shù)，并寫出它的一個“和諧區(qū)間”．（不需證明，但不能用本題已討論過的y=x及形如y=

bx+c

ax

的函數(shù)為例）

對于定義域為D的函數(shù)y=f（x），如果存在區(qū)間[m，n]⊆D，同時滿足：
①f（x）在[m，n]內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；
②當定義域是[m，n]時，f（x）的值域也是[m，n]．則稱[m，n]是該函數(shù)的“和諧區(qū)間”．
（1）求證：函數(shù)不存在“和諧區(qū)間”．
（2）已知：函數(shù)（a∈R，a≠0）有“和諧區(qū)間”[m，n]，當a變化時，求出n-m的最大值．
（3）易知，函數(shù)y=x是以任一區(qū)間[m，n]為它的“和諧區(qū)間”．試再舉一例有“和諧區(qū)間”的函數(shù)，并寫出它的一個“和諧區(qū)間”．（不需證明，但不能用本題已討論過的y=x及形如的函數(shù)為例）

例2：如圖：△ABC是邊長為3厘米的正三角形，D是BC邊上靠近點B的三等分點，甲、乙兩個質(zhì)點分別從點A、D同時出發(fā)，都以1厘米/秒的速度按圖示方向沿三角形的邊作勻速運動，經(jīng)過時間t（0≤t≤3）秒后，兩質(zhì)點的距離為S（t）．
（1）寫出函數(shù)S（t）
（2）求S（t）的最大值和最小值，并求取得最大值、最小值時相應(yīng)的t的值．