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某工廠在“減員增效”工作中，規(guī)定下崗人員第一年可以到原單位領取全額工資，從第二年起，以后每年只能在原單位按上一年工資額的領�。�該工廠根據(jù)下崗人員特長，創(chuàng)辦新的經(jīng)濟實體．該實體預計第一年屬投資階段，沒有利潤，因而職員均無收入．第二年每人年收入可達b元，從第三年起每人年收入可在上一年的基礎上遞增．如果某工人下崗后立即轉入這個創(chuàng)辦的經(jīng)濟實體，又設該工人下崗前的年工資額為a元．

①求這位工人下崗后第n年的年收入a_n的表達式；

②當時，這位工人哪一年的年收入最少？最少年收入是多少？

已知函數(shù)，.

（Ⅰ）若函數(shù)依次在處取到極值.求的取值范圍；

（Ⅱ）若存在實數(shù)，使對任意的，不等式 恒成立.求正整數(shù)的最大值.

【解析】第一問中利用導數(shù)在在處取到極值點可知導數(shù)為零可以解得方程有三個不同的實數(shù)根來分析求解。

第二問中，利用存在實數(shù)，使對任意的，不等式 恒成立轉化為，恒成立，分離參數(shù)法求解得到范圍。

解：（1）

①

（2）不等式 ，即，即.

轉化為存在實數(shù)，使對任意的，不等式恒成立.

即不等式在上恒成立.

即不等式在上恒成立.

設，則.

設，則，因為，有.

故在區(qū)間上是減函數(shù)。又

故存在，使得.

當時，有，當時，有.

從而在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減.

又[來源:]

所以當時，恒有；當時，恒有；

故使命題成立的正整數(shù)m的最大值為5

 

設函數(shù)

（1）當時，求曲線處的切線方程；

（2）當時，求的極大值和極小值；

（3）若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.

【解析】（1）中，先利用，表示出點的斜率值這樣可以得到切線方程。（2）中，當，再令，利用導數(shù)的正負確定單調(diào)性，進而得到極值。（3）中，利用函數(shù)在給定區(qū)間遞增，說明了在區(qū)間導數(shù)恒大于等于零，分離參數(shù)求解范圍的思想。

解：（1）當……2分

    ∴

即為所求切線方程。………………4分

（2）當

令………………6分

∴遞減，在（3，+）遞增

∴的極大值為…………8分

（3）

①若上單調(diào)遞增�！酀M足要求�！�10分

②若

∵恒成立，

恒成立，即a>0……………11分

時，不合題意。綜上所述，實數(shù)的取值范圍是

 

某熱電廠積極推進節(jié)能減排工作，技術改造項目“循環(huán)冷卻水系統(tǒng)”采用雙曲線型冷卻塔（如右圖），以使得冷卻器中排出的熱水在其中冷卻后可重復使用，從而實現(xiàn)熱電系統(tǒng)循環(huán)水的零排放．
（1）冷卻塔的外形是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉所成的曲面，要求它的最小半徑為12m，上口半徑為13m，下口半徑為20m，且雙曲線的離心率為

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，試求冷卻塔的高應當設計為多少？
（2）該項目首次需投入資金4000萬元，每年節(jié)能后可增加收入600萬元．投入使用后第一年的維護費用為30萬元，以后逐年遞增20萬元．為使年平均節(jié)能減排收益達到最大值，多少年后報廢該套冷卻塔系統(tǒng)比較適合？

某熱電廠積極推進節(jié)能減排工作，技術改造項目“循環(huán)冷卻水系統(tǒng)”采用雙曲線型冷卻塔（如右圖），以使得冷卻器中排出的熱水在其中冷卻后可重復使用，從而實現(xiàn)熱電系統(tǒng)循環(huán)水的零排放．
（1）冷卻塔的外形是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉所成的曲面，要求它的最小半徑為12m，上口半徑為13m，下口半徑為20m，且雙曲線的離心率為，試求冷卻塔的高應當設計為多少？
（2）該項目首次需投入資金4000萬元，每年節(jié)能后可增加收入600萬元．投入使用后第一年的維護費用為30萬元，以后逐年遞增20萬元．為使年平均節(jié)能減排收益達到最大值，多少年后報廢該套冷卻塔系統(tǒng)比較適合？