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例1.若直線mx+y+2=0與線段AB有交點.其中A.求實數m的取值范圍. 解:直線mx+y+2=0過一定點C.直線mx+y+2=0實際上表示的是過定點的直線系.因為直線與線段AB有交點.則直線只能落在∠ABC的內部.設BC.CA這兩條直線的斜率分別為k1.k2.則由斜率的定義可知.直線mx+y+2=0的斜率k應滿足k≥k1或k≤k2. ∵A ∴ ∴-m≥或-m≤ 即m≤或m≥ 說明:此例是典型的運用數形結合的思想來解題的問題.這里要清楚直線mx+y+2=0的斜率-m應為傾角的正切.而當傾角在或內.角的正切函數都是單調遞增的.因此當直線在∠ACB內部變化時.k應大于或等于kBC.或者k小于或等于kAC.當A.B兩點的坐標變化時.也要能求出m的范圍. 例2.已知x.y滿足約束條件 x≥1. x-3y≤-4. 3x+5y≤30. 求目標函數z=2x-y的最大值和最小值. 解:根據x.y滿足的約束條件作出可行域.即如圖所示的陰影部分. 作直線:2x-y=0.再作一組平行于的直線:2x-y=t.t∈R. 可知.當在的右下方時.直線上的點(x.y)滿足2x-y＞0.即t＞0.而且直線往右平移時.t隨之增大.當直線平移至的位置時.直線經過可行域上的點B.此時所對應的t最大,當在的左上方時.直線上的點(x.y)滿足2x-y＜0.即t＜0.而且直線往左平移時.t隨之減小.當直線平移至的位置時.直線經過可行域上的點C.此時所對應的t最小. x-3y+4=0. 由 解得點B的坐標為(5.3), 3x+5y-30=0. x=1. 由 解得點C的坐標為(1.). 3x+5y-30=0. 所以.=2×5-3=7,=2×1-=. 例3. 已知⊙M:軸上的動點.QA.QB分別切⊙M于A.B兩點.(1)如果.求直線MQ的方程, (2)求動弦AB的中點P的軌跡方程. 解:(1)由.可得由射影定理.得 在Rt△MOQ中. . 故. 所以直線AB方程是 (2)連接MB.MQ.設由 點M.P.Q在一直線上.得 由射影定理得 即 把消去a. 并注意到.可得 說明:適時應用平面幾何知識.這是快速解答本題的要害所在. 例4.已知雙曲線的離心率.過的直線到原點的距離是(1)求雙曲線的方程, (2)已知直線交雙曲線于不同的點C.D且C.D都在以B為圓心的圓上.求k的值. 解:∵(1)原點到直線AB:的距離. 故所求雙曲線方程為 (2)把中消去y.整理得 . 設的中點是.則 即 故所求k=±. 說明:為了求出的值, 需要通過消元, 想法設法建構的方程. 例5.已知橢圓的長.短軸端點分別為A.B.從此橢圓上一點M向x軸作垂線.恰好通過橢圓的左焦點.向量與是共線向量. (1)求橢圓的離心率e, (2)設Q是橢圓上任意一點. .分別是左.右焦點.求∠ 的取值范圍, 解:(1)∵.∴. ∵是共線向量.∴.∴b=c,故. (2)設 當且僅當時.cosθ=0.∴θ. 說明:由于共線向量與解析幾何中平行線.三點共線等具有異曲同工的作用.因此.解析幾何中與平行線.三點共線等相關的問題均可在向量共線的新情景下設計問題.求解此類問題的關鍵是:正確理解向量共線與解析幾何中平行.三點共線等的關系.把有關向量的問題轉化為解析幾何問題. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

如圖3-2,設直線mx+y+2=0與線段AB有交點,若A(-2,3)、B(3,2),求m的取值范圍.

圖3-2

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如圖，設直線mx＋y＋2＝0與線段AB有交點，若A(－2，3)、B(3，2)，求m的取值范圍．

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