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解法一: 由已知.得又所以解法二: 由已知.得【查看更多】

已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足：，

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和；

（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和；

（3）證明：不等式對(duì)任意的，都成立．

【解析】第一問(wèn)中，由于所以

兩式作差，然后得到

從而得到結(jié)論

第二問(wèn)中，利用裂項(xiàng)求和的思想得到結(jié)論。

第三問(wèn)中，

又

結(jié)合放縮法得到。

解：（1）∵ ∴

∴

∴ ∴ ………2分

又∵正項(xiàng)數(shù)列，∴ ∴

又n=1時(shí)，

∴ ∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列……………3分

∴ …………………4分

∴ …………………5分

（2） …………………6分

∴

…………………9分

（3）

…………………12分

又

，

∴不等式對(duì)任意的，都成立．

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已知函數(shù) R)．

（Ⅰ）若，求曲線在點(diǎn) 處的的切線方程；

（Ⅱ）若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。

第一問(wèn)中，利用當(dāng)時(shí)，．

因?yàn)榍悬c(diǎn)為（），則，

所以在點(diǎn)（）處的曲線的切線方程為：

第二問(wèn)中，由題意得，即即可。

Ⅰ）當(dāng)時(shí)，．

，

因?yàn)榍悬c(diǎn)為（），則，

所以在點(diǎn)（）處的曲線的切線方程為：． ……5分

（Ⅱ）解法一：由題意得，即． ……9分

（注：凡代入特殊值縮小范圍的均給4分）

，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911405226518211/SYS201207091141419057564738_ST.files/image016.png">，所以恒成立，

故在上單調(diào)遞增， ……12分

要使恒成立，則，解得．……15分

解法二： ……7分

（1）當(dāng)時(shí)，在上恒成立，

故在上單調(diào)遞增，

即． ……10分

（2）當(dāng)時(shí)，令，對(duì)稱軸，

則在上單調(diào)遞增，又

① 當(dāng)，即時(shí)，在上恒成立，

所以在單調(diào)遞增，

即，不合題意，舍去

②當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去 14分

綜上所述：

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已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且 (N^*),其中．

(Ⅰ) 求的通項(xiàng)公式；

(Ⅱ) 設(shè) (N^*).

①證明：；

② 求證：.

【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解和運(yùn)用。運(yùn)用關(guān)系式，表示通項(xiàng)公式，然后得到第一問(wèn)，第二問(wèn)中利用放縮法得到，②由于，

所以利用放縮法，從此得到結(jié)論。

解：(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，由得. ……2分

若存在由得，

從而有，與矛盾，所以.

從而由得得. ……6分

(Ⅱ)①證明：

證法一：∵∴

∴

∴.…………10分

證法二：，下同證法一. ……10分

證法三：（利用對(duì)偶式）設(shè)，，

則.又，也即，所以，也即，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921381634452104/SYS201206192140215789581034_ST.files/image037.png">，所以.即

………10分

證法四：（數(shù)學(xué)歸納法）①當(dāng)時(shí), ,命題成立;

②假設(shè)時(shí),命題成立,即,

則當(dāng)時(shí),

即

故當(dāng)時(shí)，命題成立.

綜上可知，對(duì)一切非零自然數(shù)，不等式②成立. ………………10分

②由于，

所以，

從而.

也即

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已知函數(shù)f(x)=e^x-ax，其中a＞0.

（1）若對(duì)一切x∈R，f(x) 1恒成立，求a的取值集合；

（2)在函數(shù)f(x)的圖像上去定點(diǎn)A（x₁, f(x₁)）,B(x₂, f(x₂))(x₁<x₂)，記直線AB的斜率為k，證明：存在x₀∈（x₁,x₂）,使恒成立.

【解析】解：令.

當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取最小值

于是對(duì)一切恒成立，當(dāng)且僅當(dāng).　　　　　　　�、�

令則

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.

故當(dāng)時(shí)，取最大值.因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，①式成立.

綜上所述，的取值集合為.

（Ⅱ）由題意知，令則

令，則.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.故當(dāng)，即

從而，又

所以因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，所以存在使即成立.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式恒成立問(wèn)題等，考查運(yùn)算能力，考查分類討論思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)方法.第一問(wèn)利用導(dǎo)函數(shù)法求出取最小值對(duì)一切x∈R，f(x) 1恒成立轉(zhuǎn)化為從而得出求a的取值集合；第二問(wèn)在假設(shè)存在的情況下進(jìn)行推理，然后把問(wèn)題歸結(jié)為一個(gè)方程是否存在解的問(wèn)題，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，研究這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析判斷.