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幾何概型 例3．在平面直角坐標(biāo)系中.設(shè)是橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的絕對(duì)值均不大于2的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域.是到原點(diǎn)的距離不大于1的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域.向中隨機(jī)投一點(diǎn).則所投點(diǎn)在中的概率是 分析:本小題考查古典概型.其概率應(yīng)為幾何圖形的面積比. 如圖:區(qū)域D 表示邊長(zhǎng)為4 的正方形的內(nèi)部.區(qū)域E 表示單位圓及其內(nèi)部.因此． 答案: 評(píng)注:在解決幾何概型問題時(shí).要弄清整個(gè)事件的區(qū)域長(zhǎng)度.以及所研究事件的區(qū)域長(zhǎng)度.特別是平面幾何圖形的構(gòu)成常常是考查的焦點(diǎn).有可能與定積分相聯(lián)系. 例4．如圖所示.墻上掛有一邊長(zhǎng)為的正方形木板.它的四個(gè)角的空白部分都是以正 方形的頂點(diǎn)為圓心.半徑為的圓弧.某人向此板投鏢.假設(shè)每次都能擊中木板.且擊中木板上每個(gè)點(diǎn)的可能性都一樣. 則他擊中陰影部分的概率是 ( ) A． B． C． D．與的取值有關(guān) 分析:本小題考查古典概型.其概率應(yīng)為幾何圖形的面積比.其中陰影部分的面積要通過規(guī)則的圖形的面積求出.即正方形的面積去掉一個(gè)圓的面積. 解:正方形的面積為.而四個(gè)角空白部分合起來(lái)為半徑為的一個(gè)圓.面積為.所以他擊中陰影部分的概率是.故選A. 答案:A 評(píng)注:在解決幾何概型問題時(shí).對(duì)于不規(guī)則圖形的面積要通過求定積分或規(guī)則圖形的面積求出. 例5．設(shè)有關(guān)于的一元二次方程． (Ⅰ)若是從四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù).是從三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù).求上述方程有實(shí)根的概率． (Ⅱ)若是從區(qū)間任取的一個(gè)數(shù).是從區(qū)間任取的一個(gè)數(shù).求上述方程有實(shí)根的概率． 分析:一元二次方程有實(shí)根的條件為.即.題(Ⅰ)可用列舉法列出所有的基本事件.找出符合條件的基本事件.題(Ⅱ)就是幾何概型.可作出試驗(yàn)的總區(qū)域.和符合條件的區(qū)域.應(yīng)該是把看作有序數(shù)對(duì)對(duì)于平面上的點(diǎn).可畫出平面區(qū)域解答. 解:設(shè)事件為“方程有實(shí)根 ． 當(dāng).時(shí).方程有實(shí)根的充要條件為． (Ⅰ)基本事件共12個(gè): ．其中第一個(gè)數(shù)表示的取值.第二個(gè)數(shù)表示的取值． 事件中包含9個(gè)基本事件.事件發(fā)生的概率為． (Ⅱ)試驗(yàn)的全部結(jié)束所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)椋? 構(gòu)成事件的區(qū)域?yàn)椋? 所以所求的概率為． 評(píng)注:本題容納了古典概型和幾何概型的解法.要善于區(qū)分提煉.并進(jìn)行轉(zhuǎn)化.把數(shù)組看成平面內(nèi)的點(diǎn)即可轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域問題用面積解答. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

判斷下列概率模型是古典概型還是幾何概型？

(1)如圖3-3-4,轉(zhuǎn)盤上有8個(gè)面積相等的扇形,轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤,求轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)指針落在陰影部分的概率.

        圖3-3-4

(2)在500 mL的水中有一個(gè)草履蟲,現(xiàn)從中隨機(jī)取出2 mL水樣放到顯微鏡下觀察,求發(fā)現(xiàn)草履蟲的概率.

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P（）是平面上的一個(gè)點(diǎn)，設(shè)事件A表示“”,其中為實(shí)常數(shù)．

（1）若均為從0，1，2，3，4五個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，求事件A發(fā)生的概率；

（2）若均為從區(qū)間[0，5）任取的一個(gè)數(shù)，求事件A發(fā)生的概率．

【解析】本試題考查了幾何概型和古典概型結(jié)合的一道綜合概率計(jì)算試題。首先明確區(qū)域中的所有基本事件數(shù)或者區(qū)域表示的面積，然后分別結(jié)合概率公式求解得到。

 

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將曲線y=
1
x
，x=1，x=2和y=0所圍成的平面區(qū)域記作d，將直線x=1，x=2，y=0和y=1所圍成的正方形區(qū)域記作D．
（Ⅰ）在直角坐標(biāo)平面上，作出區(qū)域D和d；
（Ⅱ）利用隨機(jī)模擬方法，我們可以估算區(qū)域d的面積，也就是說，在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生n個(gè)點(diǎn)，數(shù)出落在區(qū)域d內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，用幾何概型公式計(jì)算區(qū)域d的面積．請(qǐng)按此思路，設(shè)計(jì)一個(gè)算法，估算區(qū)域d的面積，只要求寫出偽代碼．
提示：若點(diǎn)（a，b）∈D，則當(dāng)b＜
1
a
時(shí)，（a，b）∈d．

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（2013•鄭州一模）一數(shù)學(xué)興趣小組利用幾何概型的相關(guān)知識(shí)做實(shí)驗(yàn)計(jì)算圓周率，他們向一個(gè)邊長(zhǎng)為1米的正方形區(qū)域均勻撒豆，測(cè)得正方形區(qū)域有豆5120顆，正方形內(nèi)節(jié)圓區(qū)域有豆4009顆，則他們所沒得圓周率為（保留兩位有效數(shù)字）（　　）

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判斷下列試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率是古典概型，還是幾何概型.

（1）拋擲兩顆骰子，求出現(xiàn)兩個(gè)“4點(diǎn)”的概率；

（2）如右圖所示，圖中有一轉(zhuǎn)盤，甲、乙兩人玩轉(zhuǎn)盤游戲，規(guī)定當(dāng)指針指向B區(qū)域時(shí)，甲獲勝，否則乙獲勝，求甲獲勝的概率.

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