已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n與通項(xiàng)a_n之間滿足關(guān)系S_n=

1

2

-

1

2

an
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）設(shè)f（x）=log₃x，b_n=f（a₁）+f（a₂）+L+f（a_n），T_n=

1

b1

+

1

b2

+L+

1

bn

，求T₂₀₁₂
（III）若c_n=a_n•f（a_n），求{c_n}的前n項(xiàng)和a_n．

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且（t-1）S_n=2ta_n-t-1（其中t為常數(shù)，t＞0，且t≠1）．
（I）求證：數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列；
（II）若數(shù)列{a_n}的公比q=f（t），數(shù)列{b_n}滿足b₁=a₁，bn+1=

1

2

f（b_n），求數(shù)列{

1

bn

}的通項(xiàng)公式；
（III）設(shè)t=

1

3

，對(duì)（II）中的數(shù)列{a_n}，在數(shù)列{a_n}的任意相鄰兩項(xiàng)a_k與a_k+1之間插入k個(gè)

(-1)k

bk

（k∈N^*）后，得到一個(gè)新的數(shù)列：a₁，

(-1)1

b1

，a₂，

(-1)2

b2

，

(-1)2

b2

，a₃，

(-1)3

b3

，

(-1)3

b3

，

(-1)3

b3

，a₄…，記此數(shù)列為{c_n}．求數(shù)列{c_n}的前50項(xiàng)之和．