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1 若a≠b.a≠0.b≠0.則 > 2 解不等式|x2-4x+2|≥ 0＜x≤或≤x≤或x≥4 3求證:(1)|x+1|+|x-1|≥2; (2)|x+2|+|x+1|+|x-1|+|x-2|≥6; (3)2|x+2|+|x+1|≥1(當(dāng)且僅當(dāng)x=-2時(shí),“= 號成立) 證明:(1)|x+1|+|x-1|≥|(x+1)-(x-1)|=2 (2)|x+1|+|x-1|≥|(x+1)-(x-1)|=2 當(dāng)且僅當(dāng)(x+1)(x-1)≤0,即-1≤x≤1時(shí)“= 成立; 又|x+2|+|x-2|≥|(x+2)-(x-2)|=4, 當(dāng)且僅當(dāng)(x+2)(x-2)≤0,即-2≤x≤2時(shí)“= 號成立 ∴|x+2|+|x+1|+|x-1|+|x-2|≥6, 當(dāng)且僅當(dāng)即-1≤x≤1時(shí)“= 號成立 (3)|x+2|+|x+1|≥|(x+2)-(x+1)|=1, 當(dāng)且僅當(dāng)(x+2)(x+1)≤0,即-2≤x≤-1時(shí)“= 號成立; 又|x+2|≥0,當(dāng)且僅當(dāng)x=-2時(shí).“= 號成立, ∴2|x+2|+|x+1|≥1, 當(dāng)x=-2時(shí).“= 號成立 4已知f(x)=,當(dāng)|a|≠|(zhì)b|時(shí),求證: (1)|a+b|<|f(a)+f(b)|;(2)|a-b|>|f(a)-f(b)| 證明:(1)| a+b|≤|a|+|b|<=|f(a)+f(b)| 得:|a+b|<, ∴|a-b|= 5求證:≥|a|-|b|(a≠b) 證明:當(dāng)|a|≤|b|時(shí),|a|-|b|≤0,≥0,有 ≥|a|-|b|; 當(dāng)|a|>|b|時(shí),又a≠0,從而|a|>0,有||<1-||>-1-≥-|b| ∵(|b|≥0) ∴≥=|a|-≥|a|-|b| 綜上所述有:≥|a|-|b|(a≠b) 6若|x|<1,|y|<1,|z|<1,求證:||<1 證明:所證不等式 |x+y+z+xyz|<|1+xy+yz+zx| (x+y+z+xyz)2<(1+xy+yz+zx)2 (xyz+xy+yz+zx+x+y+z+1)(xyz-xy-yz-zx+x+y+z-1)<0 ［(x+1)(y+1)(z+1)］·［(x-1)(y-1)(z-1)］<0 (x2-1)(y2-1)(z2-1)<0 由于|x|<1,|y|<1,|z|<1.從而x2<1,y2<1,z2<1, 于是(x2-1)(y2-1)(z2-1)<0成立,所以原不等式成立 7已知a,b∈R,求證: 證明:原不等式|a+b|(1+|a|)(1+|b|) ≤|a|(1+|a+b|)(1+|b|)+|b|(1+|a+b|)(1+|a|) |a+b|(1+|b|)+|a+b|·|a|(1+|b|) ≤|a|(1+|b|)+|a|·(1+|b|)·|a+b|+|b|(1+|a|)+|b|·|a+b|(1+|a|) |a+b|+|a+b|·|b|≤|a|+2|ab|+|b|+|b|·|a+b|+|ab|·|a+b| |a+b|≤|a|+|b|+2|ab|+|ab|·|a+b| 由于|a+b|≤|a|+|b|成立,顯然最后一個(gè)不等式成立,從而原不等式成立 以上證明是最基本的方法,但過程繁瑣冗長,利用放大技巧證明要簡捷得多,證明如下: ∵|a+b|≤|a|+|b||a|+|b|-|a+b|≥0, 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

下列命題中正確的有
②③④
②③④
（填序號）
①若
a
與
b
滿足
a
•
b
＞0，則
a
與
b
所成的角為銳角；
②若
a
與
b
不共線，
m
=λ1
a
+λ2
b
，
n
=μ1
a
+μ2
b
（λ1，λ2，μ1，μ2∈R），則
m
∥
n
的充要條件是λ1μ2-λ2μ1=0；
③若
OA
+
OB
+
OC
=
O
，且|
OA
|=|
OB
|=|
OC
|，則△ABC是等邊三角形；
④若
a
與
b
為非零向量，且
a
⊥
b
，則|
a
+
b
|=|
a
-
b
|；
⑤設(shè)
a
，
b
，
c
為非零向量，若
a
•
b
=
c
•
b
，則
a
=
c
；
⑥若
a
，
b
，
c
為非零向量，則
a
•(
b
•
c
)=(
a
•
b
)•
c
．

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判斷下列各命題正確與否：

(1)若a=0，則對任一向量b，有a·b=0.

(2)若a≠0，則對任一非零向量b，有a·b≠0.

(3)若a≠0，a·b=0，則b=0.

(4)若a·b=0，則a、b中至少有一個(gè)為0.

(5)若a≠0，a·b=a·c，則b=c.

(6)若a·b=a·c，則b≠c，當(dāng)且僅當(dāng)a=0時(shí)成立.

(7)(a·b)c=a(b·c)對任意向量a、b、c都成立.

(8)對任意向量a、b、c，(a·b)c≠a(b·c).

(9)對任一向量a，有a2=|a|2.

(10)對任意向量a、b，有(a+b)·(a-b)=(|a|+|b|)·(|a|-|b|).

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已知函數(shù)f(x)＝alnx－x2＋1.

(1)若曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程為4x－y＋b＝0，求實(shí)數(shù)a和b的值；

(2)若a<0，且對任意x1、x2∈(0，＋∞)，都|f(x1)－f(x2)|≥|x1－x2|，求a的取值范圍．

【解析】第一問中利用f′(x)＝－2x(x>0)，f′(1)＝a－2，又f(1)＝0，所以曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程為y＝(a－2)(x－1)，即(a－2)x－y＋2－a＝0，

由已知得a－2＝4,2－a＝b，所以a＝6，b＝－4.

第二問中，利用當(dāng)a<0時(shí)，f′(x)<0，∴f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，

不妨設(shè)0<x1≤x2，則|f(x1)－f(x2)|＝f(x1)－f(x2)，|x1－x2|＝x2－x1，

∴|f(x1)－f(x2)|≥|x1－x2|等價(jià)于f(x1)－f(x2)≥x2－x1，

即f(x1)＋x1≥f(x2)＋x2，結(jié)合構(gòu)造函數(shù)和導(dǎo)數(shù)的知識來解得。

(1)f′(x)＝－2x(x>0)，f′(1)＝a－2，又f(1)＝0，所以曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程為y＝(a－2)(x－1)，即(a－2)x－y＋2－a＝0，

由已知得a－2＝4,2－a＝b，所以a＝6，b＝－4.

(2)當(dāng)a<0時(shí)，f′(x)<0，∴f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，

不妨設(shè)0<x1≤x2，則|f(x1)－f(x2)|＝f(x1)－f(x2)，|x1－x2|＝x2－x1，

∴|f(x1)－f(x2)|≥|x1－x2|等價(jià)于f(x1)－f(x2)≥x2－x1，即f(x1)＋x1≥f(x2)＋x2，

令g(x)＝f(x)＋x＝alnx－x2＋x＋1，g(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，

∵g′(x)＝－2x＋1＝(x>0)，

∴－2x2＋x＋a≤0在x>0時(shí)恒成立，

∴1＋8a≤0，a≤－，又a<0，

∴a的取值范圍是

 

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設(shè)A＝{x|x2－(a＋2)x＋a2＋1＝0}，B＝{x|x2－3x＋2＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}．

(1)若A∩B＝A∪B，求a的值；

(2)若A∩B，且A∩C＝，求a的值；

(3)是否存在實(shí)數(shù)a使A∩B＝A∩C≠，若存在，求a的值．若不存在，請說明理由．

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關(guān)于平面向量
a
，
b
，
c
，有下列四個(gè)命題（　�。�
①若
a
∥
b
，
.
a
≠
0
則?λ∈R，使得
b
=λ
a

②
.
a
•
.
b
=0，則
a
=
o
或
b
=
0

③若
.
a
=(1，k)，
b
=(-2，6)，
.
a
∥
b
則，k=-3
④若
a
•
b
=
a
•
c
 則
a
⊥(
b
-
c
)，其中正確命題序號是（　�。�

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