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級數(shù)的概念及其性質(zhì) 我們在中學(xué)里已經(jīng)遇到過級數(shù)--等差數(shù)列與等比數(shù)列.它們都屬于項(xiàng)數(shù)為有限的特殊情形.下面我們來學(xué)習(xí)項(xiàng)數(shù)為無限的級數(shù).稱為無窮級數(shù). 無窮級數(shù)的概念 設(shè)已給數(shù)列a1,a2,-,an,-把數(shù)列中各項(xiàng)依次用加號連接起來的式子a1+a2+-+an+-稱為無窮級數(shù).簡稱級數(shù).記作:或.即:=a1+a2+-+an+-.數(shù)列的各項(xiàng)a1,a2,-稱為級數(shù)的項(xiàng).an稱為級數(shù)的通項(xiàng). 取級數(shù)最前的一項(xiàng).兩項(xiàng).-.n項(xiàng).-相加.得一數(shù)列S1=a1.S2=a1+a2.-.Sn=a1+a2+-+an.- 這個數(shù)列的通項(xiàng)Sn=a1+a2+-+an稱為級數(shù)的前n項(xiàng)的部分和.該數(shù)列稱為級數(shù)的部分和數(shù)列. 如果級數(shù)的部分和數(shù)列收斂:.那末就稱該級數(shù)收斂.極限值S稱為級數(shù)的和. 例題:證明級數(shù):的和是1. 證明: 當(dāng)n→∞時.Sn→1.所以級數(shù)的和是1. 級數(shù)的性質(zhì) 1.級數(shù)收斂的必要條件:收斂的級數(shù)的通項(xiàng)an當(dāng)n→∞時趨于零.即: 注意:此條件只是級數(shù)收斂的必要條件.而不是充分條件. 例如:級數(shù)雖然在n→∞時.通項(xiàng).級數(shù)卻是發(fā)散的. 此級數(shù)為調(diào)和級數(shù).在此我們不加以證明. 2.如果級數(shù)收斂而它的和是S.那末每一項(xiàng)乘上常數(shù)c后所得到的級數(shù).也是收斂的.而且它的和是cS.如果發(fā)散.那末當(dāng)c≠0時也發(fā)散. 3.兩個收斂的級數(shù)可以逐項(xiàng)相加或相減. 4.在任何收斂的級數(shù)中.不改變連在一起的有限項(xiàng)的次序而插入括號.所得的新級數(shù)仍收斂.其和不變. 注意:無限項(xiàng)的所謂和是一種極限.與有限項(xiàng)的和在本質(zhì)上是有區(qū)別的. 5.在一個級數(shù)的開頭添入或去掉有限個項(xiàng)并不影響這個級數(shù)的收斂或發(fā)散. 正項(xiàng)級數(shù)的收斂問題 對于一個級數(shù).我們一般會提出這樣兩個問題:它是不是收斂的?它的和是多少?顯然第一個問題是更重要的.因?yàn)槿绻墧?shù)是發(fā)散的.那末第二個問題就不存在了.下面我們來學(xué)習(xí)如何確定級數(shù)的收斂和發(fā)散問題. 我們先來考慮正項(xiàng)級數(shù)(即每一項(xiàng)an≥0的級數(shù))的收斂問題. 判定正項(xiàng)級數(shù)斂散性的基本定理 定理:正項(xiàng)級數(shù)收斂的充分與必要條件是部分和Sn上有界.如果Sn上無界.級數(shù)發(fā)散于正無窮大. 例如:p級數(shù):.當(dāng)p>1時收斂.當(dāng)p≤1時發(fā)散. 注意:在此我們不作證明. 正項(xiàng)級數(shù)的審斂準(zhǔn)則 準(zhǔn)則一:設(shè)有兩個正項(xiàng)級數(shù)及.而且an≤bn.如果收斂.那末也收斂,如果發(fā)散.那末也發(fā)散. 例如:級數(shù)是收斂的.因?yàn)楫?dāng)n>1時.有≤.而等比級數(shù)是收斂的 準(zhǔn)則二:設(shè)有兩個正項(xiàng)級數(shù)與.如果那末這兩個級數(shù)或者同時收斂.或者同時發(fā)散. 關(guān)于此準(zhǔn)則的補(bǔ)充問題 如果.那末當(dāng)收斂時.也收斂,如果.那末當(dāng)發(fā)散時.也發(fā)散. 例如:是收斂的.因?yàn)?而是收斂的. 注意:以上這兩個準(zhǔn)則來判定一個已知級數(shù)的斂散性.都需要另選一個收斂或發(fā)散的級數(shù).以資比較.下面我們來學(xué)習(xí)兩個只依賴于已知級數(shù)本身的審斂準(zhǔn)則. 準(zhǔn)則三:設(shè)有正項(xiàng)級數(shù).如果極限存在.那末當(dāng)λ＜1時級數(shù)收斂.λ＞1時級數(shù)收斂. 注意:此準(zhǔn)則就是達(dá)朗貝爾準(zhǔn)則.這種判定方法稱為檢比法. 例如:級數(shù)是收斂的.因?yàn)楫?dāng)n→∞時.. 準(zhǔn)則四:如果極限存在.那末當(dāng)λ＜1級數(shù)收斂.λ＞1級數(shù)發(fā)散. 例如:級數(shù)是發(fā)散的.因?yàn)楫?dāng)n→∞時. 一般常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的審斂準(zhǔn)則 當(dāng)級數(shù)中的正數(shù)項(xiàng)與負(fù)數(shù)項(xiàng)均為無窮多時.就稱級數(shù)為一般常數(shù)項(xiàng)級數(shù). 絕對收斂與條件收斂 設(shè)有一般常數(shù)項(xiàng)級數(shù) 取各項(xiàng)的絕對值所構(gòu)成的級數(shù) 稱為對應(yīng)于原級數(shù)的絕對值級數(shù). 絕對收斂的準(zhǔn)則:如果對應(yīng)的絕對值級數(shù)收斂.那末原級數(shù)也收斂. 注意:此時稱為絕對收斂. 如果級數(shù)發(fā)散而級數(shù)收斂. 則稱為條件收斂. 關(guān)于絕對收斂與條件收斂的問題 一個絕對收斂級數(shù)的正數(shù)項(xiàng)與負(fù)數(shù)項(xiàng)所組成的級數(shù)都是收斂的, 一個條件收斂級數(shù)的正數(shù)項(xiàng)與負(fù)數(shù)項(xiàng)所組成的級數(shù)都是發(fā)散的. 例題:證明:當(dāng)λ>1時.級數(shù)為一絕對收斂級數(shù). 證明:因?yàn)椤芏?dāng)λ>1時收斂.故級數(shù)收斂.從而級數(shù)絕對收斂. 交錯級數(shù)與它的審斂準(zhǔn)則 交錯級數(shù)就是任一相鄰的兩項(xiàng)都是符號相反的數(shù).它是一般常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一種特殊級數(shù). 交錯級數(shù)可以寫成: 交錯級數(shù)的審斂準(zhǔn)則: 如果且.那末級數(shù)收斂. 例如:交錯級數(shù)是收斂的.因?yàn)樗鼭M足萊布尼茲準(zhǔn)則的兩個條件:及 函數(shù)項(xiàng)級數(shù).冪級數(shù) 在自然科學(xué)與工程技術(shù)中運(yùn)用級數(shù)這一工具時.經(jīng)常用到不是常數(shù)項(xiàng)的級數(shù).而是函數(shù)項(xiàng)的級數(shù).而常數(shù)項(xiàng)級數(shù)是研究函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的基礎(chǔ). 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念 設(shè)有函數(shù)序列..其中每一個函數(shù)都在同一個區(qū)間I上有定義.那末表達(dá)式稱為定義在I上的函數(shù)項(xiàng)級數(shù). 下面我們來學(xué)習(xí)常見而應(yīng)用廣泛的一種具有如下形式的函數(shù)項(xiàng)級數(shù): 它們的各項(xiàng)都是正整數(shù)冪的冪函數(shù).這種級數(shù)稱為冪級數(shù).其中cn均為常數(shù). 顯然.當(dāng)上面級數(shù)中的變量x取定了某一個值x0時.它就變?yōu)橐粋�常數(shù)項(xiàng)級數(shù). 冪級數(shù)的收斂問題 與常數(shù)項(xiàng)級數(shù)一樣.我們把稱為冪級數(shù)的部分和.如果這部分和當(dāng)n→∞時對區(qū)間I中的每一點(diǎn)都收斂.那末稱級數(shù)在區(qū)間I收斂.此時sn(x)的極限是定義在區(qū)間I中的函數(shù).記作:s稱為級數(shù)的和函數(shù).簡稱和.記作: 對于冪級數(shù).我們關(guān)心的問題仍是它的收斂與發(fā)散的判定問題.下面我們來學(xué)習(xí)關(guān)于冪級數(shù)的收斂的判定準(zhǔn)則. 冪級數(shù)的審斂準(zhǔn)則 準(zhǔn)則:設(shè)有冪級數(shù).如果極限.那末.當(dāng)時.冪級數(shù)收斂.而且絕對收斂,當(dāng)時.冪級數(shù)發(fā)散.其中R可以是零.也可以是+∞. 由上面的準(zhǔn)則我們可知:冪級數(shù)的收斂區(qū)間是關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間.在這個區(qū)間內(nèi)級數(shù)收斂.在這個區(qū)間外級數(shù)發(fā)散.區(qū)間稱為冪級數(shù)的收斂區(qū)間.簡稱斂區(qū).正數(shù)R為冪級數(shù)的收斂半徑. 關(guān)于此審斂準(zhǔn)則問題 討論冪級數(shù)收斂的問題主要在于收斂半徑的尋求.當(dāng)時.級數(shù)的斂散性不能由準(zhǔn)則來判定.需另行討論. 例題:求冪級數(shù)的收斂區(qū)間. 解答:該級數(shù)的收斂半徑為: 所以此冪級數(shù)的斂區(qū)是. 在x=5與x=-5.級數(shù)分別為前者發(fā)散.后者收斂. 故級數(shù)的收斂區(qū)間是[-5,5) 冪級數(shù)的性質(zhì) 性質(zhì)1:設(shè)有兩個冪級數(shù)與.如果 =f1(x).-R1<x<R1 =f2(x).-R2<x<R2 則=f1(x)±f2(x).-R<x<R 其中R=min(R1,R2) 性質(zhì)2:冪級數(shù)的和s(x)在斂區(qū)內(nèi)時連續(xù)的. 性質(zhì)3:冪級數(shù)的和s(x)在斂區(qū)內(nèi)的任一點(diǎn)均可導(dǎo).且有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式: = 求導(dǎo)后的冪級數(shù)與原級數(shù)有相同的收斂半徑. 性質(zhì)4:冪級數(shù)的和s(x)在斂區(qū)內(nèi)可以積分.并且有逐項(xiàng)積分公式: 積分后所得的冪級數(shù)與原級數(shù)有相同的收斂半徑. 由以上這些性質(zhì)可知:冪級數(shù)在其斂區(qū)內(nèi)就像普通的多項(xiàng)式一樣,可以相加,相減,可以逐項(xiàng)求導(dǎo),逐項(xiàng)積分. 函數(shù)的冪級數(shù)展開式 通過前面的學(xué)習(xí)我們看到.冪級數(shù)不僅形式簡單.而且有一些與多項(xiàng)式類似的性質(zhì).而且我們還發(fā)現(xiàn)有一些可以表示成冪級數(shù).為此我們有了下面兩個問題: 問題1:函數(shù)f(x)在什么條件下可以表示成冪級數(shù), 問題2:如果f(x)能表示成如上形式的冪級數(shù).那末系數(shù)cn怎樣確定? 下面我們就來學(xué)習(xí)這兩個問題. 泰勒級數(shù) 我們先來討論第二個問題.假定f(x)在a的鄰區(qū)內(nèi)能表示成這種形式的冪級數(shù).其中a是事先給定某一常數(shù).我們來看看系數(shù)cn與f(x)應(yīng)有怎樣的關(guān)系. 由于f(x)可以表示成冪級數(shù).我們可根據(jù)冪級數(shù)的性質(zhì).在x=a的鄰區(qū)內(nèi)f(x)可任意階可導(dǎo).對其冪級數(shù)兩端逐次求導(dǎo).得: . . ------------------ . ------------------ 在f(x)冪級數(shù)式及其各階導(dǎo)數(shù)中.令x=a分別得: 把這些所求的系數(shù)代入得: 該式的右端的冪級數(shù)稱為f(x)在x+a處的泰勒級數(shù). 關(guān)于泰勒級數(shù)的問題 上式是在f(x)可以展成形如的冪級數(shù)的假定下得出的.實(shí)際上.只要f(x)在x=a處任意階可導(dǎo).我們就可以寫出函數(shù)的泰勒級數(shù). 問題:函數(shù)寫成泰勒級數(shù)后是否收斂?是否收斂于f(x)? 函數(shù)寫成泰勒級數(shù)是否收斂將取決于f(x)與它的泰勒級數(shù)的部分和之差 是否隨n→+∞而趨向于零.如果在某一區(qū)間I中有那末f(x)在x=a處的泰勒級數(shù)將在區(qū)間I中收斂于f(x).此時.我們把這個泰勒級數(shù)稱為函數(shù)f(x)在區(qū)間I中的泰勒展開式. 泰勒定理 設(shè)函數(shù)f(x)在x=a的鄰區(qū)內(nèi)n+1階可導(dǎo).則對于位于此鄰區(qū)內(nèi)的任一x.至少存在一點(diǎn)c,c在a與x之間.使得: 此公式也被稱為泰勒公式. 在泰勒公式中.取a=0.此時泰勒公式變成: 其中c在0與x之間 此式子被稱為麥克勞林公式. 函數(shù)f(x)在x=0的泰勒級數(shù)稱為麥克勞林級數(shù).當(dāng)麥克勞林公式中的余項(xiàng)趨于零時.我們稱相應(yīng)的泰勒展開式為麥克勞林展開式. 即: 幾種初等函數(shù)的麥克勞林的展開式 1.指數(shù)函數(shù)ex 2.正弦函數(shù)的展開式 3.函數(shù)(1+x)m的展開式 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

設(shè)G、M分別為不等邊△ABC的重心與外心，A（-1，0）、B（1，0），GM∥AB．
（1）求點(diǎn)C的軌跡方程；
（2）設(shè)點(diǎn)C的軌跡為曲線E，是否存在直線l，使l過點(diǎn)（0.1）并與曲線E交于P、Q兩點(diǎn)，且滿足
OP
•
OQ
=-2？若存在，求出直線l的方程，若不存在，說明理由．
注：三角形的重心的概念和性質(zhì)如下：設(shè)△ABC的重心，且有
GD
GC
=
GE
GA
=
GF
GB
=
1
2
．

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設(shè)G、M分別為不等邊△ABC的重心與外心，A（-1，0）、B（1，0），GM∥AB．
（1）求點(diǎn)C的軌跡方程；
（2）設(shè)點(diǎn)C的軌跡為曲線E，是否存在直線l，使l過點(diǎn)（0.1）并與曲線E交于P、Q兩點(diǎn)，且滿足
OP
•
OQ
=-2？若存在，求出直線l的方程，若不存在，說明理由．
注：三角形的重心的概念和性質(zhì)如下：設(shè)△ABC的重心，且有
GD
GC
=
GE
GA
=
GF
GB
=
1
2
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設(shè)G、M分別為不等邊△ABC的重心與外心，A（-1，0）、B（1，0），GM∥AB．
（1）求點(diǎn)C的軌跡方程；
（2）設(shè)點(diǎn)C的軌跡為曲線E，是否存在直線l，使l過點(diǎn)（0.1）并與曲線E交于P、Q兩點(diǎn)，且滿足數(shù)學(xué)公式？若存在，求出直線l的方程，若不存在，說明理由．
注：三角形的重心的概念和性質(zhì)如下：設(shè)△ABC的重心，且有數(shù)學(xué)公式．

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如何理解對數(shù)的概念及性質(zhì)？

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我們用符號“||”定義過一些數(shù)字概念，如實(shí)數(shù)絕對值的概念：對于a∈R，|a|=
a，a＞0
0，a=0
-a，a＜0
，可以證明，對任意a，b∈R，不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|成立．
（1）再寫出兩個這類數(shù)學(xué)概念的定義及其成立的不等式；
（2）對于集合A，定義“|A|”為集合A中元素的個數(shù)，對任意的集合A、B有類似的不等式成立嗎？如果有，寫出一個，并指出等號成立的條件（不必說明理由）；如果沒有，請說明理由；
（3）設(shè)有集合A、B，若|A|=15，|B|≥15，若從A中任取兩上元素，恰好都是B中元素的概率p≥
1
5
，求|A∩B|的取值范圍．

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