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微分方程的基本概念在許多科技領域里.常會遇到這樣的問題: 某個函數是怎樣的并不知道.但根據科技領域的普遍規(guī)律.卻可以知道這個未知函數及其導數與自變量之間會滿足某種關系.下面我們先來看一個例子: 例題:已知一條曲線過點(1,2).且在該直線上任意點P(x,y)處的切線斜率為2x.求這條曲線方程解答:設所求曲線的方程為y=y(x).我們根據導數的幾何意義.可知y=y(x)應滿足方程: 我們發(fā)現這個方程中含有未知函數y的導數.這里我們先不求解. 微分方程的概念我們把含有未知函數的導數的方程稱為微分方程. 在一個微分方程中所出現的導數的最高階數稱為微分方程的階.當然階數越高的微分方程越麻煩. 從微分方程求出未知函數是什么就叫做解微分方程.滿足微分方程的函數稱為微分方程的解.微分方程的一般形式的解稱為微分方程的一般解. 滿足微分方程的一個有特殊要求的解稱為微分方程的一特解.這種特解通常是滿足一定的附加條件的解. 通常.微分方程的一般解里.含有一些任意常數.其個數與微分方程的階數相同.因此用來確定任意常數以從一般解得出一個特解的附加條件的個數也與微分方程的階數相同. 可分離變量的微分方程與齊次方程下面我們來學習用積分法解一階微分方程的問題. 并不是所有的一階微分方程都可以用積分法求解.只有一些特殊形式的一階微分方程可以用積分法求解.并且解法也各不相同.因此.我們學習時要認清各種微分方程的特點及它們的解法. 可分離變量的微分方程這種方程的形式為: 我們往往會以為將上式兩端積分即可求解.其實是不對的.因為兩端積分后.得.右端是什么也求不出的.所以求不出y來. 其正確解法為:設y=y(x)為所求的解.于是當y=y(x)時.有 .即這一步把y的函數及dy與x的函數及dx分開了.稱為分離變量.這是求解的關鍵的一步.下一步我們就可由不定積分換元法進行求解了. 例題:求方程的通解. 解答:這是一個可分離變量的方程.分離變量后得兩端分別積分.得令.得這就是該方程的通解. 齊次微分方程這種微分方程的形式為: 它也不能由兩端積分求解.其求解步驟為: 令.則.y的微分方程就化成了u的微分方程即: 這就化成了可分離變量的微分方程.再由上面我們所學的方法就可求出方程的通解. 例題:求方程的特解. 解答:這是一個齊次方程.令y=ux代入.得分離變量后.得兩端分別積分.得或其中代回u=y/x.得原方程的通解為將初始條件y(0)=1代入.得 C=1. 所以滿足初始條件的特解為線性微分方程線性微分方程這種微分方程的形式為:.其中.p,q與y,y'無關.但可以與x有關.它對y與y'而言是一次的.故被稱之為一階線性微分方程. 當q=0時稱為齊次線性微分方程,當q≠0時稱為非齊次線性微分方程. 齊次線性微分方程的解法齊次線性微分方程的形式為: 此方程是可分離變量的微分方程.分離變量后.得:.這就可以由我們前面所學的方法進行求解. 例題:求的一般解. 解答:由此方程可得.故因此該方程的一般解為: 非齊次線性微分方程的解法非齊次線性微分方程的形式為: 這種方程的解法為:先求出其對應的齊次線性微分方程的一般解.然后把c看作x的函數.再代到非齊次線性微分方程中來決定c.使它能滿足非齊次微分方程. 中把c作為x的函數求導數比c作為常數求導數要多處一項:.所以中c作為x的函數代入微分方程就得到. 所以只要.即就可使非齊次線性微分方程得到滿足.即為所求的一般解. 上面我們說學的這種解法被稱為Lagrange常數變易法. 例題:求解解答:相應齊次線性微分方程的一般解為: 把c看成x的函數代入得: 因此:c'=x(x+1) ∴ 故:就是非齊次線性微分方程的一般解. 可降階的高階方程求解高階微分方程的方法之一是設法降低方程的階數.下面我們以二階方程為例來學習三種可以降階的方程. 1.右端僅含x的方程:y"=f(x) 對這類方程.只須兩端分別積分一次就可化為一階方程 . 再次積分.即可求出方程得通解. 例題:求方程y"=cosx的通解. 解答:一次積分得: 二次積分即得到方程得通解: 2.右端不顯含y的方程:y"=f 我們?yōu)榱税逊匠探惦A.可令y'=p.將p看作是新的未知函數.x仍是自變量.于是.代入原方程得: 這就是一個一階方程.然后即可由我們前面學的方法進行求解了. 例題:求方程的通解. 解答:令y'=p..代入方程.得分離變量后.得積分.得 .即再積分.即得原方程的通解: . 3.右端不顯含x的方程:y"=f 我們?yōu)榱税逊匠探惦A.可令y'=p.將p看作是自變量y的函數.有代入原方程.得這是關于p的一階方程.我們可由此解出通解.然后再代入原方程求解.即可. 例題:求方程的通解解答:令代入原方程得: 它相當于兩個方程: 由第一個方程解得:y=C; 第二個方程可用分離變量法解得 p =C1y 從而由此再分離變量.解得: 這就是原方程的通解線性微分方程解的結構我們以二階方程為例來說明線性方程解的結構.當然這些結論也適合于高階線性微分方程. 二階線性方程的一般形式為其中y",y',y都是一次的.否則稱為二階非線性方程. 線性齊次方程解的結構二階線性齊次方程的形式為: 定理:如果函數均是方程的解.那末也是該方程的解.其中C1,C2為任意常數. 線性齊次方程的這一性質.又稱為解的疊和性. 問題:我們所求得的解是不是方程的通解呢? 一般來說.這是不一定的.那么什么情況下它才是方程的通解呢?為此我們由引出了兩個概念:線性相關與線性獨立. 定義:設是定義在區(qū)間I的兩個函數.如果.那末稱此兩函數在區(qū)間I線性相關.否則.即之比不恒等于一個常數.那末稱此兩函數線性獨立或線性無關. 為此我們有了關于線性齊次方程特解的定理. 定理:如果是二階線線性齊次方程的任意兩個線性獨立的特解.那末就是該方程的通解.其中C1,C2為任意常數. 線性非齊次方程解的結構二階線性非齊次方程的形式為: 對于一階線性非齊次方程我們知道.線性非齊次方程的通解等于它的一個特解與對應的齊次方程通解之和.那末這個結論對高階線性非齊次方程適合嗎? 答案是肯定的.為此我們有下面的定理. 定理:設y是二階線性非齊次方程的任一特解.Y是與該方程對應的齊次線性方程的通解.那末 y=y+Y 就是方程的通解. 我們?yōu)榱艘院蟮慕忸}方便.又給出了一個定理.如下: 定理:設有線性非齊次方程.如果分別是方程與方程的解.那末就是原方程的解. 二階常系數齊次線性方程的解法前面我們已經知道了.無論是線性齊次方程和非齊次方程.它們的通解結構雖然知道.但通解的尋求卻是建立在已知特解的基礎上.但是.即使對二階線性齊次方程.特解的尋求也沒有一般的方法.但是對于常系數的二階線性齊次方程.它的通解可按一定的方法很容易求的. 二階線性齊次方程的解法二階線性齊次方程的一般形式為:.其中a1.a2為實常數. 我們知道指數函數eax求導后仍為指數函數.利用這個性質.可適當的選擇常數ρ.使eax滿足方程上面的方程.我們可令:.代入上面的方程得: 因為eax≠0.所以: 這樣.對于上面二次方程的每個根ρ.eax就是方程的一個解.方程就被稱為方程的特征方程.根據這個代數方程的根的不同性質.我們分三種不同的情況來討論: 1.特征方程有兩個不等的實根的情形設此兩實根為.于是是齊次方程的兩個特解.由于它們之比不等于常數.所以它們線性獨立.因此.方程的通解為: 其中c1.c2為實常數. 2.特征方程有重根的情形此時特征方程的重根應為:.于是只能得到的一個特解:.我們可根據常數變易法再求其另一個特解為:.于是方程的通解為: 3.特征方程有共軛復根的情形設共軛復根為.那末是方程的兩個線性獨立的解.但是這種復數形式的解使用不方便.為了得到實數形式的解.利用歐拉公式:.為此可以得到方程的通解: 由上面可知.求二階常系數線性齊次方程通解的步驟為: 1.對照方程寫出其特征方程:, 2.求出特征方程的兩個根:ρ1.ρ2 3.根據ρ1.ρ2是不同實根.相同實根.共軛復根.分別利用上面的公式寫出原方程的通解. 例題:求方程的通解. 解答:此方程的特征方程為: 它有兩個不相同的實根.因此所求的通解為: 二階常系數非齊次線性方程的解法我們來學習二階常系數線性非齊次方程的求解方法.由前面我們知道線性非齊次方程的通解.等于它的任一特解與對應齊次方程的通解之和.前面我們已知道對應齊次方程的通解的解法.現在的關鍵是怎樣求得特解. 二階常系數非齊次線性方程的解法常系數二階線性非齊次方程的一般形式為: 下面我們根據f(x)具有下列特殊情形時.來給出求其特解的公式: (1):設.其中μ為一常數. 若為零次多項式.此時: a):當μ不是特征方程的根時.可設 b):當μ是特征方程的單根時.可設 c):當μ是特征方程的重根時.可設若為一m次多項式.即:μ=0.此時 a):當a2≠0即μ=0不是特征方程的根時.可設 b):當a2=0.a1≠0時.即μ=0是特征方程的單根時.可設 c):當a2=0.a1=0時.即μ=0是特征方程的重根時.可設例題:求方程的一個特解解答:對應的特征方程為原方程右端不出現.但可以把它看作是.即μ=0 因為μ=0不是特征方程的根.所以設特解為代入原方程.得于是: 故所求的特解為: (2):設或.其中a,μ,v為常數. 此時的特解為: 例題:求方程的特解解答:顯然可設特解為: 代入原方程得: 由此得: A=-1 從而原方程的特解是【查看更多】

題目列表(包括答案和解析)

已知平面α經過點A（1，1，1），且

=(1，2，3)是它的一個法向量．類比曲線方程的定義以及求曲線方程的基本步驟，可求得平面α的方程是

x+2y+3z-6=0

．

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（本小題考查等比數列的基本概念和性質，扎實的運算能力和邏輯思維能力）已知等比數列的公比為正數，且，，則