空間直角坐標(biāo)系空間點(diǎn)的直角坐標(biāo)系為了溝通空間圖形與數(shù)的研究.我們需要建立空間的點(diǎn)與有序數(shù)組之間的聯(lián)系.為此我們通過(guò)引進(jìn)空間直角坐標(biāo)系來(lái)實(shí)現(xiàn). 過(guò)定點(diǎn)O.作三條互相垂直的數(shù)軸.它們都以O(shè)為原點(diǎn)且一般具有相同的長(zhǎng)度單位.這三條軸分別叫做x軸.z軸,統(tǒng)稱(chēng)坐標(biāo)軸.通常把x軸和y軸配置在水平面上.而z軸則是鉛垂線(xiàn),它們的正方向要符合右手規(guī)則.即以右手握住z軸.當(dāng)右手的四指從正向x軸以π/2角度轉(zhuǎn)向正向y軸時(shí).大拇指的指向就是z軸的正向.這樣的三條坐標(biāo)軸就組成了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系.點(diǎn)O叫做坐標(biāo)原點(diǎn). 三條坐標(biāo)軸中的任意兩條可以確定一個(gè)平面.這樣定出的三個(gè)平面統(tǒng)稱(chēng)坐標(biāo)面. 取定了空間直角坐標(biāo)系后.就可以建立起空間的點(diǎn)與有序數(shù)組之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系. 例:設(shè)點(diǎn)M為空間一已知點(diǎn).我們過(guò)點(diǎn)M作三個(gè)平面分別垂直于x軸.y軸.z軸.它們與x軸.y軸.z軸的交點(diǎn)依次為P.Q.R.這三點(diǎn)在x軸.y軸.z軸的坐標(biāo)依次為x.y.z.于是空間的一點(diǎn)M就唯一的確定了一個(gè)有序數(shù)組x,y,z.這組數(shù)x,y,z就叫做點(diǎn)M的坐標(biāo).并依次稱(chēng)x,y和z為點(diǎn)M的橫坐標(biāo).縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo). 坐標(biāo)為x,y,z的點(diǎn)M通常記為M. 這樣.通過(guò)空間直角坐標(biāo)系.我們就建立了空間的點(diǎn)M和有序數(shù)組x,y,z之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系. 注意:坐標(biāo)面上和坐標(biāo)軸上的點(diǎn).其坐標(biāo)各有一定的特征. 例:如果點(diǎn)M在yOz平面上.則x=0,同樣.zOx面上的點(diǎn).y=0,如果點(diǎn)M在x軸上.則y=z=0,如果M是原點(diǎn). 則x=y=z=0.等. 空間兩點(diǎn)間的距離設(shè)M1(x1,y1,z1).M2(x2,y2,z2)為空間兩點(diǎn).為了用兩點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表達(dá)它們間的距離d我們有公式: 例題:證明以A,C為頂點(diǎn)的三角形△ABC是一等腰三角形. 解答:由兩點(diǎn)間距離公式得: 由于.所以△ABC是一等腰三角形方向余弦與方向數(shù) 解析幾何中除了兩點(diǎn)間的距離外.還有一個(gè)最基本的問(wèn)題就是如何確定有向線(xiàn)段的或有向直線(xiàn)的方向. 方向角與方向余弦設(shè)有空間兩點(diǎn).若以P1為始點(diǎn).另一點(diǎn)P2為終點(diǎn)的線(xiàn)段稱(chēng)為有向線(xiàn)段.記作.通過(guò)原點(diǎn)作一與其平行且同向的有向線(xiàn)段.將與Ox,Oy,Oz三個(gè)坐標(biāo)軸正向夾角分別記作α,β,γ.這三個(gè)角α,β,γ稱(chēng)為有向線(xiàn)段的方向角.其中0≤α≤π,0≤β≤π,0≤γ≤π. 關(guān)于方向角的問(wèn)題若有向線(xiàn)段的方向確定了.則其方向角也是唯一確定的. 方向角的余弦稱(chēng)為有向線(xiàn)段或相應(yīng)的有向線(xiàn)段的方向余弦. 設(shè)有空間兩點(diǎn).則其方向余弦可表示為: 從上面的公式我們可以得到方向余弦之間的一個(gè)基本關(guān)系式: 注意:從原點(diǎn)出發(fā)的任一單位的有向線(xiàn)段的方向余弦就是其端點(diǎn)坐標(biāo). 方向數(shù) 方向余弦可以用來(lái)確定空間有向直線(xiàn)的方向.但是.如果只需要確定一條空間直線(xiàn)的方位(一條直線(xiàn)的兩個(gè)方向均確定著同一方位).那末就不一定需要知道方向余弦.而只要知道與方向余弦成比例的三個(gè)數(shù)就可以了.這三個(gè)與方向余弦成比例且不全為零的數(shù)A.B.C稱(chēng)為空間直線(xiàn)的方向數(shù).記作:{A.B.C}.即: 據(jù)此我們可得到方向余弦與方向數(shù)的轉(zhuǎn)換公式: .. 其中:根式取正負(fù)號(hào)分別得到兩組方向余弦.它們代表兩個(gè)相反的方向. 關(guān)于方向數(shù)的問(wèn)題空間任意兩點(diǎn)坐標(biāo)之差就是聯(lián)結(jié)此兩點(diǎn)直線(xiàn)的一組方向數(shù). 兩直線(xiàn)的夾角設(shè)L1與L2是空間的任意兩條直線(xiàn).它們可能相交.也可能不相交.通過(guò)原點(diǎn)O作平行與兩條直線(xiàn)的線(xiàn)段.則線(xiàn)段的夾角稱(chēng)為此兩直線(xiàn)L1與L2的夾角. 若知道L1與L2的方向余弦則有公式為: 其中:θ為兩直線(xiàn)的夾角. 若知道L1與L2的方向數(shù)則有公式為: 兩直線(xiàn)平行.垂直的條件兩直線(xiàn)平行的充分必要條件為: 兩直線(xiàn)垂直的充分必要條件為: 平面與空間直線(xiàn) 平面及其方程我們把與一平面垂直的任一直線(xiàn)稱(chēng)為此平面的法線(xiàn). 設(shè)給定點(diǎn)為Po(x0,y0,z0),給定法線(xiàn)n的一組方向數(shù)為{A,B,C}A2+B2+C2≠0.則過(guò)此定點(diǎn)且以n為法線(xiàn)的平面方程可表示為: 注意:此種形式的方程稱(chēng)為平面方程的點(diǎn)法式. 例題:設(shè)直線(xiàn)L的方向數(shù)為{3.-4.8}.求通過(guò)點(diǎn)且垂直于直線(xiàn)L的平面方程. 解答:應(yīng)用上面的公式得所求的平面方程為: 即我們把形式為: Ax+By+Cz+D=0. 稱(chēng)為平面方程的一般式.其中x,y,z的系數(shù)A.B.C是平面的法線(xiàn)的一組方向數(shù). 幾種特殊位置平面的方程 1.通過(guò)原點(diǎn) 其平面方程的一般形式為: Ax+By+Cz=0. 2.平行于坐標(biāo)軸平行于x軸的平面方程的一般形式為: By+Cz+D=0. 平行于y軸的平面方程的一般形式為: Ax+Cz+D=0. 平行于z軸的平面方程的一般形式為: Ax+By+D=0. 3.通過(guò)坐標(biāo)軸通過(guò)x軸的平面方程的一般形式為: By+Cz=0. 通過(guò)y軸和z軸的平面方程的一般形式為: Ax+Cz=0.Ax+By=0. 4.垂直于坐標(biāo)軸垂直于x.y.z軸的平面方程的一般形式為: Ax+D=0.By+D=0.Cz+D=0. 直線(xiàn)及其方程任一給定的直線(xiàn)都有著確定的方位.但是,具有某一確定方位的直線(xiàn)可以有無(wú)窮多條,它們相互平行.如果要求直線(xiàn)再通過(guò)某一定點(diǎn),則直線(xiàn)便被唯一確定.因而此直線(xiàn)的方程就可由通過(guò)它的方向數(shù)和定點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來(lái). 設(shè)已知直線(xiàn)L的方向數(shù)為{l,m,n}.又知L上一點(diǎn)Po(x0,y0,z0),則直線(xiàn)L的方程可表示為: 上式就是直線(xiàn)L的方程.這種方程的形式被稱(chēng)為直線(xiàn)方程的對(duì)稱(chēng)式. 直線(xiàn)方程也有一般式.它是有兩個(gè)平面方程聯(lián)立得到的.如下: 這就是直線(xiàn)方程的一般式. 平面.直線(xiàn)間的平行垂直關(guān)系對(duì)于一個(gè)給定的平面.它的法線(xiàn)也就可以知道了.因此平面間的平行與垂直關(guān)系.也就轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)間的平行與垂直關(guān)系.平面與直線(xiàn)間的平行與垂直關(guān)系.也就是平面的法線(xiàn)與直線(xiàn)的平行與垂直關(guān)系. 總的來(lái)說(shuō).平面.直線(xiàn)間的垂直與平行關(guān)系.最終都轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)與直線(xiàn)的平行與垂直關(guān)系.在此我們就不列舉例題了. 曲面與空間曲線(xiàn) 曲面的方程我們知道.在平面解析幾何中可把曲線(xiàn)看成是動(dòng)點(diǎn)的軌跡.因此.在空間中曲面可看成是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)或一條動(dòng)曲線(xiàn)按一定的條件或規(guī)律運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的軌跡. 設(shè)曲面上動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.由這一條件或規(guī)律就能導(dǎo)出一個(gè)含有變量x,y,z的方程: 如果此方程當(dāng)且僅當(dāng)P為曲面上的點(diǎn)時(shí).才為P點(diǎn)的坐標(biāo)所滿(mǎn)足.那末我們就用這個(gè)方程表示曲面.并稱(chēng)這個(gè)方程為曲面的方程.把這個(gè)曲面稱(chēng)為方程的圖形. 空間曲線(xiàn)的方程我們知道.空間直線(xiàn)可看成兩平面的交線(xiàn).因而它的方程可用此兩相交平面的方程的聯(lián)立方程組來(lái)表示.這就是直線(xiàn)方程的一般式. 一般地.空間曲線(xiàn)也可以象空間直線(xiàn)那樣看成是兩個(gè)曲面的交線(xiàn).因而空間曲線(xiàn)的方程就可由此兩相交曲面方程的聯(lián)立方程組來(lái)表示. 設(shè)有兩個(gè)相交曲面.它們的方程是..那末聯(lián)立方程組: 便是它們的交線(xiàn)方程. 兩類(lèi)常見(jiàn)的曲面 1.柱面設(shè)有動(dòng)直線(xiàn)L沿一給定的曲線(xiàn)C移動(dòng).移動(dòng)時(shí)始終與給定的直線(xiàn)M平行.這樣由動(dòng)直線(xiàn)L所形成的曲面稱(chēng)為柱面.動(dòng)直線(xiàn)L稱(chēng)為柱面的母線(xiàn).定曲線(xiàn)C稱(chēng)為柱面的準(zhǔn)線(xiàn). 2.旋轉(zhuǎn)面設(shè)有一條平面曲線(xiàn)C.繞著同一平面內(nèi)的一條直線(xiàn)L旋轉(zhuǎn)一周.這樣由C旋轉(zhuǎn)所形成的曲面稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)面.曲線(xiàn)C稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)面的母線(xiàn).直線(xiàn)L稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)面的軸. 下面我們?cè)倭信e出幾種常見(jiàn)的二次曲面二次曲面的名稱(chēng) 二次曲面的方程橢球面單葉雙曲面雙葉雙曲面橢圓拋物面雙曲拋物面【查看更多】

題目列表(包括答案和解析)