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導(dǎo)數(shù)的概念 在學(xué)習(xí)到數(shù)的概念之前.我們先來討論一下物理學(xué)中變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度的問題.例:設(shè)一質(zhì)點(diǎn)沿x軸運(yùn)動(dòng)時(shí).其位置x是時(shí)間t的函數(shù)..求質(zhì)點(diǎn)在t0的瞬時(shí)速度?我們知道時(shí)間從t0有增量△t時(shí).質(zhì)點(diǎn)的位置有增量 .這就是質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間段△t的位移.因此.在此段時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的平均速度為:.若質(zhì)點(diǎn)是勻速運(yùn)動(dòng)的則這就是在t0的瞬時(shí)速度.若質(zhì)點(diǎn)是非勻速直線運(yùn)動(dòng).則這還不是質(zhì)點(diǎn)在t0時(shí)的瞬時(shí)速度.我們認(rèn)為當(dāng)時(shí)間段△t無限地接近于0時(shí).此平均速度會(huì)無限地接近于質(zhì)點(diǎn)t0時(shí)的瞬時(shí)速度.即:質(zhì)點(diǎn)在t0時(shí)的瞬時(shí)速度=為此就產(chǎn)生了導(dǎo)數(shù)的定義.如下: 導(dǎo)數(shù)的定義:設(shè)函數(shù)在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)有定義.當(dāng)自變量x在x0處有增量△x時(shí).相應(yīng)地函數(shù)有增量.若△y與△x之比當(dāng)△x→0時(shí)極限存在.則稱這個(gè)極限值為在x0處的導(dǎo)數(shù).記為:還可記為:. 函數(shù)在點(diǎn)x0處存在導(dǎo)數(shù)簡稱函數(shù)在點(diǎn)x0處可導(dǎo).否則不可導(dǎo).若函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo).就稱函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo).這時(shí)函數(shù)對于區(qū)間(a,b)內(nèi)的每一個(gè)確定的x值.都對應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù).這就構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù).我們就稱這個(gè)函數(shù)為原來函數(shù)的導(dǎo)函數(shù). 注:導(dǎo)數(shù)也就是差商的極限 左.右導(dǎo)數(shù) 前面我們有了左.右極限的概念.導(dǎo)數(shù)是差商的極限.因此我們可以給出左.右導(dǎo)數(shù)的概念.若極限存在.我們就稱它為函數(shù)在x=x0處的左導(dǎo)數(shù).若極限存在.我們就稱它為函數(shù)在x=x0處的右導(dǎo)數(shù). 注:函數(shù)在x0處的左右導(dǎo)數(shù)存在且相等是函數(shù)在x0處的可導(dǎo)的充分必要條件 函數(shù)的和.差求導(dǎo)法則 函數(shù)的和差求導(dǎo)法則 法則:兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的和(差)的導(dǎo)數(shù)等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(差).用公式可寫為:.其中u.v為可導(dǎo)函數(shù). 例題:已知.求 解答: 例題:已知.求 解答: 函數(shù)的積商求導(dǎo)法則 常數(shù)與函數(shù)的積的求導(dǎo)法則 法則:在求一個(gè)常數(shù)與一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的乘積的導(dǎo)數(shù)時(shí).常數(shù)因子可以提到求導(dǎo)記號外面去.用公式可寫成: 例題:已知.求 解答: 函數(shù)的積的求導(dǎo)法則 法則:兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)等于第一個(gè)因子的導(dǎo)數(shù)乘第二個(gè)因子.加上第一個(gè)因子乘第二個(gè)因子的導(dǎo)數(shù).用公式可寫成: 例題:已知.求 解答: 注:若是三個(gè)函數(shù)相乘.則先把其中的兩個(gè)看成一項(xiàng). 函數(shù)的商的求導(dǎo)法則 法則:兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)之商的導(dǎo)數(shù)等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母導(dǎo)數(shù)乘積減去分母導(dǎo)數(shù)與分子導(dǎo)數(shù)的乘積.在除以分母導(dǎo)數(shù)的平方.用公式可寫成: 例題:已知.求 解答: 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 在學(xué)習(xí)此法則之前我們先來看一個(gè)例子! 例題:求=? 解答:由于.故 這個(gè)解答正確嗎? 這個(gè)解答是錯(cuò)誤的.正確的解答應(yīng)該如下: 我們發(fā)生錯(cuò)誤的原因是是對自變量x求導(dǎo).而不是對2x求導(dǎo). 下面我們給出復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)規(guī)則 規(guī)則:兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)乘上中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù).用公式表示為: .其中u為中間變量 例題:已知.求 解答:設(shè),則可分解為,因此 注:在以后解題中.我們可以中間步驟省去. 例題:已知.求 解答: 反函數(shù)求導(dǎo)法則 根據(jù)反函數(shù)的定義.函數(shù)為單調(diào)連續(xù)函數(shù).則它的反函數(shù),它也是單調(diào)連續(xù)的.為此我們可給出反函數(shù)的求導(dǎo)法則.如下: 定理:若是單調(diào)連續(xù)的.且.則它的反函數(shù)在點(diǎn)x可導(dǎo).且有: 注:通過此定理我們可以發(fā)現(xiàn):反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于原函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).注:這里的反函數(shù)是以y為自變量的.我們沒有對它作記號變換. 即: 是對y求導(dǎo).是對x求導(dǎo) 例題:求的導(dǎo)數(shù). 解答:此函數(shù)的反函數(shù)為.故則: 例題:求的導(dǎo)數(shù). 解答:此函數(shù)的反函數(shù)為.故則: 高階導(dǎo)數(shù) 我們知道.在物理學(xué)上變速直線運(yùn)動(dòng)的速度v對時(shí)間t的導(dǎo)數(shù).即: .而加速度a又是速度v對時(shí)間t的變化率.即速度v對時(shí)間t的導(dǎo)數(shù): .或.這種導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做s對t的二階導(dǎo)數(shù).下面我們給出它的數(shù)學(xué)定義: 定義:函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是x的函數(shù).我們把的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù).記作或.即:或.相應(yīng)地.把的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù).類似地.二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù).叫做三階導(dǎo)數(shù).三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù).叫做四階導(dǎo)數(shù).-.一般地(n-1)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做n階導(dǎo)數(shù). 分別記作:..-.或..-. 二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱高階導(dǎo)數(shù).由此可見.求高階導(dǎo)數(shù)就是多次接連地求導(dǎo).所以.在求高階導(dǎo)數(shù)時(shí)可運(yùn)用前面所學(xué)的求導(dǎo)方法. 例題:已知.求 解答:因?yàn)?a.故=0 例題:求對數(shù)函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù). 解答:.... 一般地.可得 隱函數(shù)及其求導(dǎo)法則 我們知道用解析法表示函數(shù).可以有不同的形式.若函數(shù)y可以用含自變量x的算式表示.像y=sinx.y=1+3x等.這樣的函數(shù)叫顯函數(shù).前面我們所遇到的函數(shù)大多都是顯函數(shù). 一般地.如果方程F(x,y)=0中.令x在某一區(qū)間內(nèi)任取一值時(shí).相應(yīng)地總有滿足此方程的y值存在.則我們就說方程F(x,y)=0在該區(qū)間上確定了x的隱函數(shù)y.把一個(gè)隱函數(shù)化成顯函數(shù)的形式.叫做隱函數(shù)的顯化.注:有些隱函數(shù)并不是很容易化為顯函數(shù)的.那么在求其導(dǎo)數(shù)時(shí)該如何呢?下面讓我們來解決這個(gè)問題! 隱函數(shù)的求導(dǎo) 若已知F(x,y)=0.求時(shí).一般按下列步驟進(jìn)行求解: a):若方程F(x,y)=0.能化為的形式.則用前面我們所學(xué)的方法進(jìn)行求導(dǎo), b):若方程F(x,y)=0.不能化為的形式.則是方程兩邊對x進(jìn)行求導(dǎo).并把y看成x的函數(shù).用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行. 例題:已知.求 解答:此方程不易顯化.故運(yùn)用隱函數(shù)求導(dǎo)法.兩邊對x進(jìn)行求導(dǎo). ..故= 注:我們對隱函數(shù)兩邊對x進(jìn)行求導(dǎo)時(shí).一定要把變量y看成x的函數(shù).然后對其利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo). 例題:求隱函數(shù).在x=0處的導(dǎo)數(shù) 解答:兩邊對x求導(dǎo).故.當(dāng)x=0時(shí).y=0.故. 有些函數(shù)在求導(dǎo)數(shù)時(shí).若對其直接求導(dǎo)有時(shí)很不方便.像對某些冪函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)時(shí).有沒有一種比較直觀的方法呢?下面我們再來學(xué)習(xí)一種求導(dǎo)的方法:對數(shù)求導(dǎo)法 對數(shù)求導(dǎo)法 對數(shù)求導(dǎo)的法則:根據(jù)隱函數(shù)求導(dǎo)的方法.對某一函數(shù)先取函數(shù)的自然對數(shù).然后在求導(dǎo).注:此方法特別適用于冪函數(shù)的求導(dǎo)問題. 例題:已知x＞0.求 此題若對其直接求導(dǎo)比較麻煩.我們可以先對其兩邊取自然對數(shù).然后再把它看成隱函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo).就比較簡便些.如下 解答:先兩邊取對數(shù): .把其看成隱函數(shù).再兩邊求導(dǎo) 因?yàn)?所以 例題:已知.求 此題可用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo).但是比較麻煩.下面我們利用對數(shù)求導(dǎo)法進(jìn)行求導(dǎo) 解答:先兩邊取對數(shù)再兩邊求導(dǎo)因?yàn)?所以 函數(shù)的微分 學(xué)習(xí)函數(shù)的微分之前.我們先來分析一個(gè)具體問題:一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響時(shí).其邊長由x0變到了x0+△x.則此薄片的面積改變了多少? 解答:設(shè)此薄片的邊長為x.面積為A.則A是x的函數(shù): 薄片受溫度變化的影響面積的改變量.可以看成是當(dāng)自變量x從x0取的增量△x時(shí).函數(shù)A相應(yīng)的增量△A.即:.從上式我們可以看出.△A分成兩部分.第一部分是△x的線性函數(shù).即下圖中紅色部分,第二部分即圖中的黑色部分.當(dāng)△x→0時(shí).它是△x的高階無窮小.表示為: 由此我們可以發(fā)現(xiàn).如果邊長變化的很小時(shí).面積的改變量可以近似的用地一部分來代替.下面我們給出微分的數(shù)學(xué)定義: 函數(shù)微分的定義:設(shè)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有定義.x0及x0+△x在這區(qū)間內(nèi).若函數(shù)的增量可表示為.其中A是不依賴于△x的常數(shù).是△x的高階無窮小.則稱函數(shù)在點(diǎn)x0可微的.叫做函數(shù)在點(diǎn)x0相應(yīng)于自變量增量△x的微分.記作dy.即:=. 通過上面的學(xué)習(xí)我們知道:微分是自變量改變量△x的線性函數(shù).dy與△y的差是關(guān)于△x的高階無窮小量.我們把dy稱作△y的線性主部.于是我們又得出:當(dāng)△x→0時(shí).△y≈dy.導(dǎo)數(shù)的記號為: .現(xiàn)在我們可以發(fā)現(xiàn).它不僅表示導(dǎo)數(shù)的記號.而且還可以表示兩個(gè)微分的比值(把△x看成dx,即:定義自變量的增量等于自變量的微分).還可表示為: 由此我們得出:若函數(shù)在某區(qū)間上可導(dǎo).則它在此區(qū)間上一定可微.反之亦成立. 微分形式不變性 什么是微分形式不邊形呢? 設(shè).則復(fù)合函數(shù)的微分為: . 由于.故我們可以把復(fù)合函數(shù)的微分寫成 由此可見.不論u是自變量還是中間變量.的微分dy總可以用與du的乘積來表示. 我們把這一性質(zhì)稱為微分形式不變性. 例題:已知.求dy 解答:把2x+1看成中間變量u.根據(jù)微分形式不變性.則 通過上面的學(xué)習(xí).我們知道微分與導(dǎo)數(shù)有著不可分割的聯(lián)系.前面我們知道基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù) 的運(yùn)算法則.那么基本初等函數(shù)的微分公式和微分運(yùn)算法則是怎樣的呢? 下面我們來學(xué)習(xí)---基本初等函數(shù)的微分公式與微分的運(yùn)算法則 基本初等函數(shù)的微分公式與微分的運(yùn)算法則 基本初等函數(shù)的微分公式 由于函數(shù)微分的表達(dá)式為:.于是我們通過基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)的公式可得出基本初等函數(shù)微分的公式.下面我們用表格來把基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式與微分公式對比一下: 導(dǎo)數(shù)公式 微分公式 微分運(yùn)算法則 由函數(shù)和.差.積.商的求導(dǎo)法則.可推出相應(yīng)的微分法則.為了便于理解.下面我們用表格來把微分的運(yùn)算法則與導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則對照一下: 函數(shù)和.差.積.商的求導(dǎo)法則 函數(shù)和.差.積.商的微分法則 復(fù)合函數(shù)的微分法則就是前面我們學(xué)到的微分形式不變性.在此不再詳述. 例題:設(shè).求對x3的導(dǎo)數(shù) 解答:根據(jù)微分形式的不變性 微分的應(yīng)用 微分是表示函數(shù)增量的線性主部.計(jì)算函數(shù)的增量.有時(shí)比較困難.但計(jì)算微分則比較簡單.為此我們用函數(shù)的微分來近似的代替函數(shù)的增量.這就是微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用. 例題:求的近似值. 解答:我們發(fā)現(xiàn)用計(jì)算的方法特別麻煩.為此把轉(zhuǎn)化為求微分的問題 故其近似值為1.025 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

導(dǎo)數(shù)的概念

(1)對于函數(shù)y＝f(x)，我們把式子稱為函數(shù)f(x)從x1到x2的_________．換言之，如果自變量x在x0處有增量Δx，那么函數(shù)f(x)相應(yīng)地有增量_________；比值_________就叫做函數(shù)y＝f(x)在x0到x0＋Δx之間的_________．

(2)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時(shí)變化率是_________，我們稱它為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的_________，記作_________，即(x0)＝_________．

(3)函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)(x)就是x的一個(gè)函數(shù)．我們稱它為f(x)的_________，簡稱_________，記作_________．

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導(dǎo)數(shù)的概念

(1)對于函數(shù)y＝f(x)，如果自變量x在x0處有增數(shù)Δx，那么函數(shù)y相應(yīng)地有增量_________；比值_________就叫做函數(shù)y＝f(x)在x0到x0＋Δx之間的_________．

(2)當(dāng)Δx→0時(shí)，有極限，我們就說y＝f(x)在點(diǎn)x0處_________，并把這個(gè)極限叫做f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)(或變化率)記作_________或_________，即(x0)＝_________＝_________，函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)(x)就是當(dāng)Δx→0時(shí)，函數(shù)的增量Δy與自變量的增量Δx的比的極限，即(x)＝_________＝_________．

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A.

【命題意圖】本題考查導(dǎo)數(shù)的概念與幾何意義，中等題.

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已知拋物線C：與圓有一個(gè)公共點(diǎn)A，且在A處兩曲線的切線與同一直線l

（I）     求r；

（II）   設(shè)m、n是異于l且與C及M都相切的兩條直線，m、n的交點(diǎn)為D，求D到l的距離。

【解析】本試題考查了拋物線與圓的方程，以及兩個(gè)曲線的公共點(diǎn)處的切線的運(yùn)用，并在此基礎(chǔ)上求解點(diǎn)到直線的距離。

【點(diǎn)評】該試題出題的角度不同于平常，因?yàn)樯婕暗氖莾蓚�(gè)二次曲線的交點(diǎn)問題，并且要研究兩曲線在公共點(diǎn)出的切線，把解析幾何和導(dǎo)數(shù)的工具性結(jié)合起來，是該試題的創(chuàng)新處。另外對于在第二問中更是難度加大了，出現(xiàn)了另外的兩條公共的切線，這樣的問題對于我們以后的學(xué)習(xí)也是一個(gè)需要練習(xí)的方向。

 

 

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某中學(xué)高三（1）班共有50名學(xué)生，他們每天自主學(xué)習(xí)的時(shí)間在180到330分鐘之間，將全班學(xué)生的自主學(xué)習(xí)時(shí)間作分組統(tǒng)計(jì)，得其頻率分布如下表所示：
組序 分組 頻數(shù) 頻率
第一組 [180，210） 5 0.1
第二組 [210，240） 10 0.2
第三組 [240，270） 12 0.24
第四組 [270，300） a b
第五組 [300，330） 6 c
（1）求表中的a、b、c的值；
（2）某課題小組為了研究自主學(xué)習(xí)時(shí)間與成績的相關(guān)性，需用分層抽樣方法，從這50名學(xué)生中隨機(jī)抽取20名作統(tǒng)計(jì)分析，求在第二組學(xué)生中應(yīng)抽取多少人？
（3）已知第一組學(xué)生中有3名男生和2名女生，從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．

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