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4.1曲邊梯形的面積與定積分 學(xué)習(xí)目標(biāo): 1.理解求曲邊圖形面積的過程:分割.以直代曲.逼近.感受在其過程中滲透的思想方法,2.借助于幾何直觀定積分的基本思想.理解定積分的概念, 3. 理解掌握定積分的幾何意義. 學(xué)習(xí)難點(diǎn)重點(diǎn): 定積分的概念.定積分法求簡單的定積分.定積分的幾何意義 自主學(xué)習(xí): 一.知識(shí)再現(xiàn):導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用 二.新課探究: 提出問題 如圖.陰影部分類似于一個(gè)梯形.但有一邊是曲線的一段.我們把由直線和曲線所圍成的圖形稱為曲邊梯形．如何計(jì)算這個(gè)曲邊梯形的面積? 例題分析: 求圖中陰影部分是由拋物線.直線以及軸所圍成的平面圖形的面積S. (1)．分割 在區(qū)間上等間隔地插入個(gè)點(diǎn).將區(qū)間等分成個(gè)小區(qū)間: ..-. 記第個(gè)區(qū)間為 .其長度為 分別過上述個(gè)分點(diǎn)作軸的垂線.從而得到個(gè)小曲邊梯形.他們的面積分別記作: ..-. 顯然. (2)近似代替 記.如圖所示.當(dāng)很大.即很小時(shí).在區(qū)間上.可以認(rèn)為函數(shù)的值變化很小.近似的等于一個(gè)常數(shù).不妨認(rèn)為它近似的等于左端點(diǎn)處的函數(shù)值.從圖形上看.就是用平行于軸的直線段近似的代替小曲邊梯形的曲邊．這樣.在區(qū)間上.用小矩形的面積近似的代替.即在局部范圍內(nèi)“以直代取 .則有 ① (3)求和 由①.上圖中陰影部分的面積為 == == 從而得到的近似值 (4)取極限 分別將區(qū)間等分8.16.20.-等份.可以看到.當(dāng)趨向于無窮大時(shí).即趨向于0時(shí).趨向于.從而有 歸納總結(jié): 求曲邊梯形面積的四個(gè)步驟: 第一步:分割．在區(qū)間中任意插入各分點(diǎn).將它們等分成個(gè)小區(qū)間.區(qū)間的長度. 第二步:近似代替.“以直代取 .用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積.求出每個(gè)小曲邊梯形面積的近似值． 第三步:求和． 第四步:取極限. 定積分的概念 一般地.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù).用分點(diǎn) 將區(qū)間等分成個(gè)小區(qū)間.每個(gè)小區(qū)間長度為().在每個(gè)小區(qū)間上取一點(diǎn).作和式: 如果無限接近于(亦即)時(shí).上述和式無限趨近于常數(shù).那么稱該常數(shù)為函數(shù)在區(qū)間上的定積分.記為: .其中成為被積函數(shù).叫做積分變量.為積分區(qū)間.積分上限.積分下限. 定積分的幾何意義 如果在區(qū)間上函數(shù)連續(xù)且恒有.那么定積分表示由直線().和曲線所圍成的曲邊梯形的面積. 說明:一般情況下.定積分的幾何意義是介于軸.函數(shù)的圖形以及直線之間各部分面積的代數(shù)和.在軸上方的面積取正號(hào).在軸下方的面積去負(fù)號(hào)． 三.例題解析: 例．求圍成圖形面積 解:1．分割 在區(qū)間上等間隔地插入個(gè)點(diǎn).將區(qū)間等分成個(gè)小區(qū)間: ..-. 記第個(gè)區(qū)間為.其長度為 分別過上述個(gè)分點(diǎn)作軸的垂線.從而得到個(gè)小曲邊梯形.他們的面積分別記作: ..-. 顯然. (2)近似代替 ∵.當(dāng)很大.即很小時(shí).在區(qū)間上.可以認(rèn)為函數(shù)的值變化很小.近似的等于一個(gè)常數(shù).不妨認(rèn)為它近似的等于左端點(diǎn)處的函數(shù)值.這樣.在區(qū)間上.用小矩形的面積近似的代替.即在局部范圍內(nèi)“以直代取 .則有 ① (3)求和 由①.上圖中陰影部分的面積為 == = = 從而得到的近似值 (4)取極限 課堂鞏固: 設(shè)S表示由曲線.x=1.以及x軸所圍成平面圖形的面積.求S,并用定積分表示. 歸納反思: 合作探究: 1.計(jì)算由兩條拋物線和所圍成的圖形的面積 2..計(jì)算的值 教師備課 學(xué)習(xí)筆記 教師備課 學(xué)習(xí)筆記 教師備課 學(xué)習(xí)筆記 教師備課 學(xué)習(xí)筆記 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

由曲線y=
1x
和直線y=x-4，x=1，x=2圍成的曲邊梯形的面積是
ln2+1
ln2+1
．

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由直線x=2,x=4,y=0和曲線y=所圍成的曲邊梯形的面積是(　　)

    A.

    B.

    C.1

    D.

      

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在求由x=a,x=b(a＜b),y=f(x)〔f(x)≥0〕及y=0圍成的曲邊梯形的面積S時(shí)，在區(qū)間［a,b］上等間隔地插入n-1個(gè)分點(diǎn)，分別過這些分點(diǎn)作x軸的垂線，把曲邊形分成n個(gè)小曲邊形過程中，下列說法正確的個(gè)數(shù)是（　　）

①n個(gè)小曲邊形的面積和等于S；②n個(gè)小曲邊形的面積和小于S；

③n個(gè)小曲邊形的面積和大于S；

④n個(gè)小曲邊形的面積和與S之間的大小關(guān)系無法確定.

A.1                       B.2                       C.3                       D.4

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由曲線和直線y=x-4，x=1，x=2圍成的曲邊梯形的面積是    ．

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由曲線y=
1
x
和直線y=x-4，x=1，x=2圍成的曲邊梯形的面積是______．

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