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[例1]體育場南側(cè)有4個大門.北側(cè)有3個大門.某學(xué)生到該體育場練跑步.則他進(jìn)出門的方案有 ( ) A．12 種 B．7種 C．24種 D．49種 錯解:學(xué)生進(jìn)出體育場大門需分兩類.一類從北邊的4個門進(jìn).一類從南側(cè)的3個門進(jìn).由分類計(jì)數(shù)原理.共有7種方案. ∴選B 錯因:沒有審清題意．本題不僅要考慮從哪個門進(jìn).還需考慮從哪個門出.應(yīng)該用分步計(jì)數(shù)原理去解題. 正解:學(xué)生進(jìn)門有7種選擇.同樣出門也有7種選擇.由分步計(jì)數(shù)原理.該學(xué)生的進(jìn)出門方案有7×7＝49種. ∴應(yīng)選D． [例2]從1,2.3.-,10中選出3個不同的數(shù).使這三個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列.則這樣的數(shù)列共有多少個? 錯解:根據(jù)構(gòu)成的等差數(shù)列的公差.分為公差為1.2.3.4四類.公差為1時(shí).有8個,公差為2時(shí).首先將數(shù)字分成1,3.5,7,9.和2,4.6,8.10兩組.再得到滿足要求的數(shù)列共3+3＝6個,公差為3時(shí).有1,4.7和4,7.10和3,6.9以及2,5.8.共4個,公差為4時(shí).只有1,5.9和2,6.10兩個.由分類計(jì)數(shù)原理可知.共構(gòu)成了不同的等差數(shù)列8+6+4+2＝20個. 錯因:上述解答忽略了1,2.3與3,2.1它們是不同的數(shù)列. 因而導(dǎo)致考慮問題不全面.從而出現(xiàn)漏解. 這需要在解題過程中要全方位.多角度審視問題． 正解:根據(jù)構(gòu)成的等差數(shù)列的公差.分為公差為±1.±2.±3.±4四類.公差為±1時(shí).有8×2＝16個,公差為±2時(shí).滿足要求的數(shù)列共6×2＝12個,公差為±3時(shí).有4×2＝8個,公差為±4時(shí).只有2×2＝4個.由分類計(jì)數(shù)原理可知.共構(gòu)成了不同的等差數(shù)列16+12+8+4＝40個. [例3]三張卡片的正反面分別寫有1和2,3和4,5和6.若將三張卡片并列.可得到幾個不同的三位數(shù). 解:解法一 第一步.選數(shù)字.每張卡片有兩個數(shù)字供選擇.故選出3個數(shù)字.共有＝8種選法.第二步.排數(shù)字.要排好一個三位數(shù).又要分三步.首先排百位.有3種選擇.由于排出的三位數(shù)各位上的數(shù)字不可能相同.因而排十位時(shí)有2種選擇.排個位只有一種選擇.故能排出3×2×1＝6個不同的三位數(shù). 由分步計(jì)數(shù)原理.共可得到8×6＝48個不同的三位數(shù). 解法二:第一步.排百位有6種選擇. 第二步.排十位有4種選擇. 第三步.排個位有2種選擇. 根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理.共可得到6×4×2＝48個不同的三位數(shù). 注:如果6能當(dāng)作9用.解法1仍可行. [例4]集合A＝{1,2.3,4}.集合B＝{-1.-2}.可建立多少個以A為定義域B為值域的不同函數(shù)? 分析:函數(shù)是特殊的映射.可建立映射模型解決. 解: 從集合A到集合B的映射共有=16個.只有都與-1.或-2對映的兩個映射不符合題意.故以A為定義域B為值域的不同函數(shù)共有16-2＝14個. 或 [例5] 用0.1,2.3,4.5這六個數(shù)字. (1)可以組成多少個數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù)? (2)可以組成多少個數(shù)字允許重復(fù)的三位數(shù)? (3)可以組成多少個數(shù)字不重復(fù)的三位奇數(shù)? (4)可以組成多少個數(shù)字不重復(fù)的小于1000的自然數(shù)? (5)可以組成多少個數(shù)字不重復(fù)的大于3000.小于5421的四位數(shù)? 解:(1)分三步:①先選百位數(shù)字.由于0不能作為百位數(shù).因此有5種選法,②十位數(shù)字有5種選法,③個位數(shù)字有4種選法.由分步計(jì)數(shù)原理知所求三位數(shù)共有5×5×4＝100個. (2)分三步:①先選百位數(shù)字.由于0不能作為百位數(shù).因此有5種選法,②十位數(shù)字有6種選法,③個位數(shù)字有6種選法.由分步計(jì)數(shù)原理知所求三位數(shù)共有5×6×6＝180個. (3)分三步:①先選個位數(shù)字.由于組成的三位數(shù)是奇數(shù).因此有3種選法,②再選百位數(shù)字有4種選法,③個位數(shù)字也有4種選法.由分步計(jì)數(shù)原理知所求三位數(shù)共有3×4×4＝48個. (4)分三類:①一位數(shù).共有6個,②兩位數(shù).共有5×5＝25個,③三位數(shù).共有5×5×4＝100個.因此.比1000小的自然數(shù)共有6+25+100＝131個 (5)分四類:①千位數(shù)字為3,4之一時(shí).共有2×5×4×3＝120個,②千位數(shù)字為5.百位數(shù)字為0,1.2,3之一時(shí).共有4×4×3＝48個,③千位數(shù)字為5.百位數(shù)字是4.十位數(shù)字為0,1之一時(shí).共有2×3＝6個,④還有5420也是滿足條件的1個.故所求自然數(shù)共120+48+6+1＝175個 評注:排數(shù)字問題是最常見的一種題型.要特別注意首位不能排0. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

體育場南側(cè)有4個大門，北側(cè)有3個大門，某人到該體育場晨練，則他進(jìn)出門的方案有(　　)
A．12種B．7種C．24種D．49種

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體育場南側(cè)有4個大門，北側(cè)有3個大門，某人到該體育場晨練，則他進(jìn)出門的方案有(　　)

A．12種B．7種C．24種D．49種

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