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例1. 已知函數(shù)f(x)= (1)求它的定義域和值域, (2)求它的單調(diào)區(qū)間, (3)判斷它的奇偶性, (4)判斷它的周期性. 分析: (1)x必須滿足sinx-cosx>0.利用單位圓中的三角函數(shù)線及.k∈Z ∴ 函數(shù)定義域為.k∈Z ∵ ∴ 當(dāng)x∈時. ∴ ∴ ∴ 函數(shù)值域為[) 定義域在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)不對稱 ∴ f(x)不具備奇偶性 ∴ 函數(shù)f(x)最小正周期為2π 注,利用單位圓中的三角函數(shù)線可知.以Ⅰ.Ⅱ象限角平分線為標(biāo)準(zhǔn).可區(qū)分sinx-cosx的符號, 以Ⅱ.Ⅲ象限角平分線為標(biāo)準(zhǔn).可區(qū)分sinx+cosx的符號.如圖. 例2. 化簡.α∈ 分析: 湊根號下為完全平方式.化無理式為有理式 ∵ ∴ 原式= ∵ α∈ ∴ ∴ 當(dāng)時. ∴ 原式= 當(dāng)時. ∴ 原式= ∴ 原式= 注: 1.本題利用了“1 的逆代技巧.即化1為.是欲擒故縱原則.一般地有... 2.三角函數(shù)式asinx+bcosx是基本三角函數(shù)式之一.引進(jìn)輔助角.將它化為(取)是常用變形手段.特別是與特殊角有關(guān)的sin±cosx.±sinx±cosx.要熟練掌握變形結(jié)論. 例3. 求. 分析: 原式= 注:在化簡三角函數(shù)式過程中.除利用三角變換公式.還需用到代數(shù)變形公式.如本題平方差公式. 例4.已知00<α<β<900.且sinα.sinβ是方程=0的兩個實數(shù)根.求sin的值. 分析: 由韋達(dá)定理得sinα+sinβ=cos400.sinαsinβ=cos2400- ∴ sinβ-sinα= 又sinα+sinβ=cos400 ∴ ∵ 00<α<β< 900 ∴ ∴ sin=sin600= 注:利用韋達(dá)定理變形尋找與sinα.sinβ相關(guān)的方程組.在求出sinα.sinβ后再利用單調(diào)性求α.β的值. 例5.+5cosβ=0.求tan·tanα的值, (2)已知.求的值. 分析: (1)從變換角的差異著手. ∵ 2α+β=-α ∴ 8cos[+α]+5cos[-α]=0 展開得: 13coscosα-3sinsinα=0 同除以coscosα得:tantanα= (2)以三角函數(shù)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)出發(fā) ∵ ∴ ∴ tanθ=2 ∴ 注,齊次式是三角函數(shù)式中的基本式.其處理方法是化切或降冪. 例6.已知函數(shù)的最值.并討論周期性.奇偶性.單調(diào)性. 分析: 對三角函數(shù)式降冪 ∴ f(x)= 令 則 y=au ∴ 0<a<1 ∴ y=au是減函數(shù) ∴ 由得.此為f(x)的減區(qū)間 由得.此為f(x)增區(qū)間 ∵ u ∴ f ∴ f(x)為偶函數(shù) ∵ u ∴ f ∴ f(x)為周期函數(shù).最小正周期為π 當(dāng)x=kπ時.ymin=1 當(dāng)x=kπ+時.ynax= 注:研究三角函數(shù)性質(zhì).一般降冪化為y=Asin等一名一次一項的形式. 同步練習(xí) 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知定義域為R的函數(shù)y=f（x）和y=g（x），它們分別滿足條件：對任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b）；對任意a，b∈R，都有g(shù)（a+b）=g（a）•g（b），且對任意x＞0，g（x）＞1．
（1）求f（0）、g（0）的值；
（2）證明函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)；
（3）證明x＜0時，0＜g（x）＜1，且函數(shù)y=g（x）在R上是增函數(shù)；
（4）試各舉出一個符合函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的實例．

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已知定義域為R的函數(shù)y=f（x）和y=g（x），它們分別滿足條件：對任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b）；對任意a，b∈R，都有g(shù)（a+b）=g（a）•g（b），且對任意x＞0，g（x）＞1．
（1）求f（0）、g（0）的值；
（2）證明函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)；
（3）證明x＜0時，0＜g（x）＜1，且函數(shù)y=g（x）在R上是增函數(shù)；
（4）試各舉出一個符合函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的實例．

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已知定義域為R的函數(shù)y=f（x）和y=g（x），它們分別滿足條件：對任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b）；對任意a，b∈R，都有g(shù)（a+b）=g（a）•g（b），且對任意x＞0，g（x）＞1．
（1）求f（0）、g（0）的值；
（2）證明函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)；
（3）證明x＜0時，0＜g（x）＜1，且函數(shù)y=g（x）在R上是增函數(shù)；
（4）試各舉出一個符合函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的實例．

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已知定義域為R的函數(shù)y=f（x）和y=g（x），它們分別滿足條件：對任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b）；對任意a，b∈R，都有g(shù)（a+b）=g（a）•g（b），且對任意x＞0，g（x）＞1．
（1）求f（0）、g（0）的值；
（2）證明函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)；
（3）證明x＜0時，0＜g（x）＜1，且函數(shù)y=g（x）在R上是增函數(shù)；
（4）試各舉出一個符合函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的實例．

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已知定義域為R的函數(shù)y＝f(x)和y＝g(x)，它們分別滿足條件：對任意a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)；對任意a，b∈R，都有g(shù)(a＋b)＝g(a)·g(b)，且對任意x＞0，g(x)＞1．

(1)求f(0)、g(0)的值；

(2)證明函數(shù)y＝f(x)是奇函數(shù)；

(3)證明x＜0時，0＜g(x)＜1，且函數(shù)y＝g(x)在R上是增函數(shù)；

(4)試各舉出一個符合函數(shù)y＝f(x)和y＝g(x)的實例．

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