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設(shè)函數(shù)f(x)=x²-1+cosx（a＞0）。
（1）當(dāng)a=1時(shí)，證明； 函數(shù)y=f(x)在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（2）若y=f(x)在（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，求正數(shù)a的范圍；
（3）在（1）的條件下，設(shè)數(shù)列{a_n}滿足：0＜a_n＜1，且a_n+1=f（a_n），求證：0＜a_n+1＜a_n＜1。

設(shè)函數(shù)f(x)=x²+ax+2lnx，a∈R，已知函數(shù)f(x)在x=1處有極值，
(1)求實(shí)數(shù)a的值；
(2)當(dāng)x∈[，e](其中e是自然對數(shù)的底數(shù))時(shí)，證明：e^{(e-x)(e+x-6)+4}≥x⁴；
(3)證明：對任意的n＞1，n∈N*，不等式恒成立。

函數(shù)f(x)=

x2+a

bx-c

(b=2n，n∈N*)的定義域?yàn)閧x|x≠1}，圖象過原點(diǎn)，且f(-2)＜-

1

2

．
（1）試求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）已知各項(xiàng)均為負(fù)數(shù)的數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為S_n，滿足4Snf(

1

an

)=1，求證：-

1

an+1

＜ln

n+1

n

＜-

1

an

；
（3）設(shè)g(m，n)=

1

m

+

1

m+1

+…+

1

n

，是否存在m₁，，n₁，m₂，n₂∈N*，使得ln2011∈（g（m₁，n₁），g（m₂，n₂））？若存在，求出m₁，，n₁，m₂，n₂，證明結(jié)論；若不存在，說明理由．

設(shè)函數(shù)f(x)=

2x-3

x

，g(x)=lnx．
（1）試判斷當(dāng)x＞0，g（x）與f（x）的大小關(guān)系；
（2）求證：（1+1•2）（1+2•3）…[1+n（n+1）]＞e^2n-3（n∈N^*）；
（3）設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）是函數(shù)y=g（x）的圖象上的兩點(diǎn)，且g′（x₀）=

y1-y2

x2-x1

（其中g(shù)′（x）為g（x）的導(dǎo)函數(shù)），證明：x₀∈（x₁，x₂）．