題目列表(包括答案和解析)
甲船由
島出發(fā)向北偏東
的方向作勻速直線航行，速度為
海里∕小時，在甲船從島出發(fā)的同時，乙船從島正南
海里處的
島出發(fā)，朝北偏東
的方向作勻速直線航行，速度為
海里∕小時。
⑴求出發(fā)
小時時兩船相距多少海里？
⑴ 兩船出發(fā)后多長時間相距最近？最近距離為多少海里？
【解析】第一問中根據(jù)時間得到出發(fā)小時時兩船相距的海里為
第二問設(shè)時間為t，則
利用二次函數(shù)求得最值，
解：⑴依題意有：兩船相距
答：出發(fā)3小時時兩船相距
海里
⑵兩船出發(fā)后t小時時相距最近，即
即當(dāng)t=4時兩船最近，最近距離為
海里。
在本次數(shù)學(xué)期中考試試卷中共有10道選擇題，每道選擇題有4個選項(xiàng)，其中只有一個是正確的。評分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：“每題只選一項(xiàng)，答對得5分，不答或答錯得0分”.某考生每道題都給出一個答案, 且已確定有7道題的答案是正確的，而其余題中，有1道題可判斷出兩個選項(xiàng)是錯誤的，有一道可以判斷出一個選項(xiàng)是錯誤的，還有一道因不了解題意只能亂猜。試求出該考生：
（1）選擇題得滿分(50分)的概率；
（2）選擇題所得分?jǐn)?shù)
的數(shù)學(xué)期望。
【解析】第一問總利用獨(dú)立事件的概率乘法公式得分為50分，10道題必須全做對．在其余的3道題中，有1道題答對的概率為
，有1道題答對的概率為
，還有1道答對的概率為
，
所以得分為50分的概率為： 
第二問中，依題意，該考生得分的范圍為｛35，40，45，50｝
得分為35分表示只做對了7道題，其余各題都做錯，
所以概率為
得分為40分的概率為：
同理求得，得分為45分的概率為：
得分為50分的概率為：
得到分布列和期望值。
解：（1）得分為50分，10道題必須全做對．在其余的3道題中，有1道題答對的概率為，有1道題答對的概率為，還有1道答對的概率為，
所以得分為50分的概率為： …………5分
（2）依題意，該考生得分的范圍為｛35，40，45，50｝ …………6分
得分為35分表示只做對了7道題，其余各題都做錯，
所以概率為 …………7分
得分為40分的概率為： …………8分
同理求得，得分為45分的概率為：
…………9分
得分為50分的概率為：
…………10分
所以得分的分布列為
|
|
35 |
40 |
45 |
50 |
|
|
|
|
|
|
數(shù)學(xué)期望
已知函數(shù)
的圖象過坐標(biāo)原點(diǎn)O,且在點(diǎn)
處的切線的斜率是
.
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)
的值；
（Ⅱ）求
在區(qū)間
上的最大值；
（Ⅲ）對任意給定的正實(shí)數(shù)
，曲線
上是否存在兩點(diǎn)P、Q，使得
是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在
軸上？說明理由.
【解析】第一問當(dāng)
時，
，則
。
依題意得：
，即
解得
第二問當(dāng)
時，
，令
得
，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和函數(shù)之間的關(guān)系得到單調(diào)性的判定，得到極值和最值
第三問假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求，則點(diǎn)P、Q只能在軸兩側(cè)。
不妨設(shè)
，則
，顯然
∵是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，∴
即
（*）若方程（*）有解，存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q；
若方程（*）無解，不存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.
（Ⅰ）當(dāng)時，，則。
依題意得：，即 解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
①當(dāng)時，，令得
當(dāng)
變化時，
的變化情況如下表：
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
— |
0 |
+ |
0 |
— |
|
|
|
極小值 |
單調(diào)遞增 |
極大值 |
|
又
，
，
�！�在
上的最大值為2.
②當(dāng)
時, 
.當(dāng)
時, 
,最大值為0；
當(dāng)
時, 在
上單調(diào)遞增�！�在最大值為
。
綜上，當(dāng)
時，即
時，在區(qū)間上的最大值為2；
當(dāng)
時，即
時，在區(qū)間上的最大值為。
（Ⅲ）假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求，則點(diǎn)P、Q只能在軸兩側(cè)。
不妨設(shè)，則，顯然
∵是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，∴
即 （*）若方程（*）有解，存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q；
若方程（*）無解，不存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.
若
，則
代入（*）式得：
即
，而此方程無解，因此
。此時
，
代入（*）式得： 
即
（**）
令
，則
∴
在
上單調(diào)遞增， ∵ ∴
,∴
的取值范圍是
。
∴對于，方程（**）總有解，即方程（*）總有解。
因此，對任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線上存在兩點(diǎn)P、Q，使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上
已知
，函數(shù)
（1）當(dāng)
時，求函數(shù)
在點(diǎn)(1，
)的切線方程；
(2)求函數(shù)在[－1，1]的極值；
(3)若在
上至少存在一個實(shí)數(shù)x0，使
>g(xo)成立，求正實(shí)數(shù)
的取值范圍。
【解析】本試題中導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。（1）中
，那么當(dāng)時，
又 
所以函數(shù)在點(diǎn)(1，)的切線方程為
；（2）中令
有 
對a分類討論
，和
得到極值。（3）中，設(shè)
，
，依題意，只需
那么可以解得。
解：（Ⅰ）∵
∴
∴ 當(dāng)時， 又
∴ 函數(shù)在點(diǎn)(1，)的切線方程為 --------4分
（Ⅱ）令 有
①
當(dāng)
即時
|
|
（－1，0） |
0 |
（0， |
|
（ |
|
|
+ |
0 |
－ |
0 |
+ |
|
|
|
極大值 |
|
極小值 |
|
故的極大值是
，極小值是
②
當(dāng)
即時，在（－1,0）上遞增，在（0,1）上遞減，則的極大值為
，無極小值。
綜上所述 時，極大值為，無極小值
時 極大值是，極小值是 ----------8分
（Ⅲ）設(shè)，
對
求導(dǎo)，得
∵
， 
∴ 在區(qū)間
上為增函數(shù)，則
依題意，只需，即
解得 
或
（舍去）
則正實(shí)數(shù)的取值范圍是（
，
）
設(shè)橢圓
的左、右頂點(diǎn)分別為
，點(diǎn)
在橢圓上且異于兩點(diǎn)，
為坐標(biāo)原點(diǎn).
（Ⅰ）若直線
與
的斜率之積為
，求橢圓的離心率；
（Ⅱ）若
，證明直線
的斜率
滿足
【解析】(1)解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為
.由題意，有
①
由
，得
，
由
，可得
，代入①并整理得
由于
，故
.于是
，所以橢圓的離心率
（2）證明：（方法一）
依題意，直線OP的方程為
，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.
由條件得
消去
并整理得
②
由
，
及
，
得
.
整理得
.而
，于是
，代入②，
整理得
由
，故
，因此
.
所以
.
(方法二)
依題意，直線OP的方程為，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.
由P在橢圓上，有
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821180638818491/SYS201207182118494193384555_ST.files/image036.png">，
，所以
，即
③
由，，得整理得.
于是，代入③，
整理得
解得，
所以.
國際學(xué)校優(yōu)選 - 練習(xí)冊列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話：027-86699610 舉報(bào)郵箱：58377363@163.com
單調(diào)遞減
）
