題目列表(包括答案和解析)
已知
，（其中
）
⑴求
及
；
⑵試比較
與
的大小，并說明理由．
【解析】第一問中取
，則
；
…………1分
對等式兩邊求導(dǎo)，得
取
，則
得到結(jié)論
第二問中，要比較與的大小，即比較：
與
的大小，歸納猜想可得結(jié)論當(dāng)
時，
；
當(dāng)
時，
；
當(dāng)
時，
；
猜想：當(dāng)
時，運用數(shù)學(xué)歸納法證明即可。
解：⑴取，則；
…………1分
對等式兩邊求導(dǎo)，得
，
取，則。 …………4分
⑵要比較與的大小，即比較：與的大小，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
…………6分
猜想：當(dāng)時，，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
由上述過程可知，
時結(jié)論成立，
假設(shè)當(dāng)
時結(jié)論成立，即
，
當(dāng)
時,
而
∴
即時結(jié)論也成立，
∴當(dāng)時，成立。
…………11分
綜上得，當(dāng)時，
；
當(dāng)時，
；
當(dāng)
時，
(1）
，
則
（4分）
（2）由（1）知
，則
①當(dāng)
時，
，令
或
，
在
上的值域為
（7分）
② 當(dāng)
時，
a.若
,則
b.若
,則
在
上是單調(diào)減的
在上的值域為
c.若
則在上是單調(diào)增的
在上的值域為
（9分）
綜上所述，當(dāng)時，在
的值域為
當(dāng)時，在的值域為
（10分）
當(dāng)時，若
時，在的值域為
若
時，在的值域為 （12分）
即 當(dāng)時，在的值域為
當(dāng)
時，在的值域為
當(dāng)時，在的值域為
(1）
，
則
（4分）
（2）由（1）知
，則
①當(dāng)
時，
，令
或
，
在
上的值域為
（7分）
② 當(dāng)
時，
a.若
,則
b.若
,則
在
上是單調(diào)減的
在上的值域為
c.若
則在上是單調(diào)增的
在上的值域為
（9分）
綜上所述，當(dāng)時，在
的值域為
當(dāng)時，在的值域為
（10分）
當(dāng)時，若
時，在的值域為
若
時，在的值域為 （12分）
即 當(dāng)時，在的值域為
當(dāng)
時，在的值域為
當(dāng)時，在的值域為
游泳池中相鄰的兩條泳道
和
(看成兩條互相平行的線段)分別長90米,甲在泳道上從
處出發(fā),以
米/秒的速度到達(dá)
以同樣的速度返回處,然后重復(fù)上述過程;乙在泳道上從
處出發(fā),以
米/秒的速度到達(dá)
以同樣的速度游回處,然后重復(fù)上述過程.(不考慮每次折返時的減速和轉(zhuǎn)向時間).兩人同時開始運動.
(Ⅰ)設(shè)甲離開池邊
處的距離為
米,當(dāng)時間
(單位:秒)時,寫出關(guān)于
的函數(shù)解析式；
(Ⅱ)請判斷從開始運動起到分鐘為止,甲乙
的相遇次數(shù).
游泳池中相鄰的兩條泳道
和
(看成兩條互相平行的線段)分別長90米,甲在泳道上從
處出發(fā),以
米/秒的速度到達(dá)
以同樣的速度返回處,然后重復(fù)上述過程;乙在泳道上從
處出發(fā),以
米/秒的速度到達(dá)
以同樣的速度游回處,然后重復(fù)上述過程.(不考慮每次折返時的減速和轉(zhuǎn)向時間).兩人同時開始運動.
(Ⅰ)設(shè)甲離開池邊
處的距離為
米,當(dāng)時間
(單位:秒)時,寫出關(guān)于
的函數(shù)解析式；
(Ⅱ)請判斷從開始運動起到分鐘為止,甲乙 的相遇次數(shù).
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