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(3)已知數(shù)列{an}中.a1∈.an+1＝f(an).求證:an+1>8?lnan(n∈N*). 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知數(shù)列{an}中，a1＝2，a2＝4，是函數(shù)f(x)＝an－1x2－3an＋an＋1(n≥2)的一個零點.

(1)證明{an+1－an}是等比數(shù)列，并求{an}的通項公式；

(2)求數(shù)列{nan}的前n項和Sn；

(3)是否存在指數(shù)函數(shù)g(x)，使得對任意的正整數(shù)n，有成立？若存在，求出滿足條件一個g(x)；若不存在，說明理由.

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已知數(shù)列{an}中，a1＝3，a2＝5，其前n項和Sn滿足Sn＋Sn－2＝2Sn－1＋2n－1(n≥3)，令bn＝．

(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

(2)若f(x)＝2x－1，求證：Tn＝b1f(1)＋b2f(2)＋…＋bnf(n)＜(n≥1)．

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已知數(shù)列{an}中，a1＝1，且點P(an，an+1)(n∈N*)在直線x－y＋1＝0上．

(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式；

(Ⅱ)若函數(shù)求函數(shù)f(n)的最小值；

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已知數(shù)列{an}中，a1＝1，且點P(an，an+1)(n∈N*)在直線x－y＋1＝0上．

(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式；

(Ⅱ)若函數(shù)求函數(shù)f(n)的最小值；

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已知函數(shù)f(x)＝的圖象過原點，且關(guān)于點(－1,2)成中心對稱．
(1)求函數(shù)f(x)的解析式；
(2)若數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝f(an)，試證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列{an}的通項公式．

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一、選擇題：

1．D  2．A 3  B  4．D 5．A 6．D 7．B 8．C 9．A  10．B  11.A  12.B

二、填空題：

13．12          14．    15   3          16．，①②③④    

三、解答題：

17．解：法（1）：①∵=(1+cosB，sinB)與=（0，1）所成的角為

∴與向量=（1，0）所成的角為                                                   

∴，即                                                   （2分）

而B∈（0，π），∴，∴，∴B=。                               （4分）

②令A(yù)B=c，BC=a，AC=b

∵B=，∴b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac=，∵a，c>0。             （6分）

∴a2+c2≥，ac≤     （當且僅當a=c時等號成立）

∴12=a2+c2-ac≥                                           （8分）

∴(a+c)2≤48，∴a+c≤，∴a+b+c≤+=（當且僅當a=c時取等號）

故ΔABC的周長的最大值為。                                                          （10分）

法2：（1）cos<，>=cos

∴，                                                                                   （2分）

即2cos2B+cosB-1=0，∴cosB=或cosB=-1（舍），而B∈（0，π），∴B=     （4分）

（2）令A(yù)B=c，BC=a，AC=b，ΔABC的周長為，則=a+c+

而a=b?，c=b?                                      （2分）

∴==

=                                （8分）

∵A∈（0，），∴A-，

當且僅當A=時，。                                         （10分）

 18．解法一：（1）∵PA⊥底面ABCD，BC平面AC，∴PA⊥BC

∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，又PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC

（2）∵AB∥CD，∠BAD=120°，∴∠ADC=60°，又AD=CD=1

∴ΔADC為等邊三角形，且AC=1，取AC的中點O，則DO⊥AC，又PA⊥底面ABCD，

∴PA⊥DO，∴DO⊥平面PAC，過O作OH⊥PC，垂足為H，連DH

由三垂成定理知DH⊥PC，∴∠DHO為二面角D-PC-A的平面角

由OH=，DO=，∴tan∠DHO==2

∴二面角D-PC-A的大小的正切值為2。

（3）設(shè)點B到平面PCD的距離為d，又AB∥平面PCD

∴VA-PCD=VP-ACD，即

∴  即點B到平面PCD的距離為。

19．解：（1）第一和第三次取球?qū)Φ谒拇螣o影響，計第四次摸紅球為事件A

①第二次摸紅球，則第四次摸球時袋中有4紅球概率為

                                                                            （2分）

②第二次摸白球，則第四次摸球時袋中有5紅2白，摸紅球概率為

                                                                           （3分）

∴P(A)=，即第四次恰好摸到紅球的概率為。（6分）（注：無文字說明扣一分）

（2）由題設(shè)可知ξ的所有可能取值為：ξ=0，1，2，3。P（ξ=0）=；

P（ξ=1）=；P（ξ=2）=；

P（ξ=3）=。故隨機變量ξ的分布列為：

ξ

0

1

2

    • <object id="0eaui"><li id="0eaui"></li></object><xmp id="0eaui"><table id="0eaui"></table></xmp>
    
   
    
    
    
    
     
    
      
      
    
      
    （10分）
    P
    ∴Eξ=（個），故Eξ=（個）                                    （1
    20.解：（1），
    故數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列。
    ，…………………………………………4分
    （2），
    ①
    ②
    ②―①得，即③
    ④
    ④―③得，即
    所以數(shù)列是等差數(shù)列……………………9分
    （3）………………………………11分
    設(shè)，則 
    …………13分
    21．解：（1）設(shè)，.
    整理得AB：bx-ay-ab=0與原點距離，又，
    聯(lián)立上式解得b=1，∴c=2，.∴雙曲線方程為.
    （2）設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2）設(shè)CD中點M（x0，y0），
    ∴，∴|AC|=|AD|，∴AM⊥CD.
    聯(lián)立直線與雙曲線的方程得，整理得（1-3k2）x2-6kmx-3m2-3=0，且.
    ∴ ，    ，
    ∴∴，∴AM⊥CD.
    ∴，整理得，
    則且k2>0，，代入中得.
    ∴.
    22．解：（1）∵(x)=3ax2+sinθx-2
    由題設(shè)可知：即∴sinθ=1。（2分）
    從而a=，∴f(x)=，而又由f(1)=得，c=
    ∴f(x)=即為所求。                                                     （4分）
    （2）(x)=x2+x-2=(x+2)(x-1)易知f(x)在（-∞，-2）及（1，+∞）上均為增函數(shù)，在（-2，1）上為減函數(shù)。
    （i）當m>1時，f(x)在[m，m+3]上遞增。故f(x)max=f(m+3)，f(x)min=f(m)
    由f(m+3)-f(m)=(m+3)3+(m+3)2-2(m+3)-=3m2+12m+得-5≤m≤1。這與條件矛盾故舍。                                                                             （6分）
    （ii）當0≤m≤1時，f(x)在[m，1]上遞減，在[1，m+3]上遞增。
    ∴f(x)min=f(1)，f(x)max={f(m)，f(m+3)}max
    又f(m+3)-f(m)=3m2+12m+=3(m+2)2->0（0≤m≤1），∴f(x)max=f(m+3)
    ∴|f(x1)-f(x2)| ≤f(x)max-f(x)min=f(m+3)-f(1)
≤f(4)-f(1)=恒成立
    故當0≤m≤1原式恒成立。                                                                       （8分）
    綜上：存在m且m∈[0，1]合乎題意。                                                   （9分）
    （3）∵a1∈(0，1，∴a2∈，故a2>2
    假設(shè)n=k（k≥2，k∈N*）時，ak>2。則ak+1=f(ak)>f(2)=8>2
    故對于一切n（n≥2，n∈N*）均有an>2成立。                                    （11分）
    令g(x)=
    得=
    當x∈（0，2）時(x)<0，x∈（2，+∞）時，(x)>0，
    ∴g(x)在x∈[2，+∞時為增函數(shù)。
    而g(2)=8-8ln2>0，即當x∈[2，+∞時，g(x)≥g(2)>0恒成立。
    ∴g(an)>0，（n≥2）也恒成立。即：an+1>8lnan（n≥2）恒成立。
    而當n=1時，a2=8，而8lna1≤0，∴a2>8lna1顯然成立。
    綜上：對一切n∈N*均有an+1>8lnan成立。                              
     
     
     
     
    		
    
	
	

    
	







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