題目列表(包括答案和解析)
已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在
軸上的橢圓
的離心率為
，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)
.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）是否存過(guò)點(diǎn)
（2,1）的直線(xiàn)
與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)
，滿(mǎn)足
？若存在，求出直線(xiàn)的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解析】第一問(wèn)利用設(shè)橢圓的方程為
，由題意得
解得
第二問(wèn)若存在直線(xiàn)滿(mǎn)足條件的方程為
，代入橢圓的方程得
．
因?yàn)橹本�(xiàn)與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為
，
所以
所以
．解得。
解：⑴設(shè)橢圓的方程為，由題意得
解得，故橢圓的方程為
．……………………4分
⑵若存在直線(xiàn)滿(mǎn)足條件的方程為，代入橢圓的方程得
．
因?yàn)橹本�(xiàn)與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，
所以
所以．
又
，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912284792138316/SYS201207091229220620471975_ST.files/image009.png">，即
，
所以
．
即
．
所以
，解得
．
因?yàn)锳,B為不同的兩點(diǎn)，所以k=1/2．
于是存在直線(xiàn)L1滿(mǎn)足條件，其方程為y=1/2x
已知向量
（
），向量
，
，
且
.
（Ⅰ）求向量
；
（Ⅱ）若
，
，求
.
【解析】本試題主要考查了向量的數(shù)量積的運(yùn)算，以及兩角和差的三角函數(shù)關(guān)系式的運(yùn)用。
（1）問(wèn)中∵，∴
，…………………1分
∵
，得到三角關(guān)系是
，結(jié)合
，解得。
（2）由，解得
，
，結(jié)合二倍角公式
，和
,代入到兩角和的三角函數(shù)關(guān)系式中就可以求解得到。
解析一：（Ⅰ）∵，∴，…………1分
∵，∴
，即 ① …………2分
又 ② 由①②聯(lián)立方程解得，
，
5分
∴
……………6分
（Ⅱ）∵即，， …………7分
∴，
………8分
又∵， ………9分
， ……10分
∴
．
解法二: (Ⅰ)
，…………………………………1分
又
，∴
，即
，①……2分
又 ②
將①代入②中，可得
③ …………………4分
將③代入①中，得
……………………………………5分
∴
…………………………………6分
(Ⅱ) 方法一
∵
,，∴
，且
……7分
∴
，從而
. …………………8分
由(Ⅰ)知
，
； ………………9分
∴
. ………………………………10分
又∵
，∴
，
又，∴
……11分
綜上可得 
………………………………12分
方法二∵,，∴，且…………7分
∴.
……………8分
由(Ⅰ)知
，
.
…………9分
∴
……………10分
∵，且注意到
，
∴
，又，∴
………………………11分
綜上可得 …………………12分
（若用
，又∵ ∴ ，
把函數(shù)
的圖象按向量
平移得到函數(shù)
的圖象．
(1)求函數(shù)的解析式； (2)若
，證明：
.
【解析】本試題主要考查了函數(shù) 平抑變換和運(yùn)用函數(shù)思想證明不等式。第一問(wèn)中，利用設(shè)上任意一點(diǎn)為（x,y）則平移前對(duì)應(yīng)點(diǎn)是（x+1,y-2）代入 ，便可以得到結(jié)論。第二問(wèn)中，令
，然后求導(dǎo)，利用最小值大于零得到。
(1)解：設(shè)上任意一點(diǎn)為（x,y）則平移前對(duì)應(yīng)點(diǎn)是（x+1,y-2）代入 得y-2=ln(x+1)-2即y=ln(x+1),所以
．……4分
(2) 證明：令，……6分
則
……8分
,∴
,∴
在
上單調(diào)遞增．……10分
故
，即
已知函數(shù)
的圖象過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O,且在點(diǎn)
處的切線(xiàn)的斜率是
.
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)
的值；
（Ⅱ）求
在區(qū)間
上的最大值；
（Ⅲ）對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)
，曲線(xiàn)
上是否存在兩點(diǎn)P、Q，使得
是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在
軸上？說(shuō)明理由.
【解析】第一問(wèn)當(dāng)
時(shí)，
，則
。
依題意得：
，即
解得
第二問(wèn)當(dāng)
時(shí)，
，令
得
，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和函數(shù)之間的關(guān)系得到單調(diào)性的判定，得到極值和最值
第三問(wèn)假設(shè)曲線(xiàn)上存在兩點(diǎn)P、Q滿(mǎn)足題設(shè)要求，則點(diǎn)P、Q只能在軸兩側(cè)。
不妨設(shè)
，則
，顯然
∵是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，∴
即
（*）若方程（*）有解，存在滿(mǎn)足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q；
若方程（*）無(wú)解，不存在滿(mǎn)足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，則。
依題意得：，即 解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
①當(dāng)時(shí)，，令得
當(dāng)
變化時(shí)，
的變化情況如下表：
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
— |
0 |
+ |
0 |
— |
|
|
|
極小值 |
單調(diào)遞增 |
極大值 |
|
又
，
，
�！�在
上的最大值為2.
②當(dāng)
時(shí), 
.當(dāng)
時(shí), 
,最大值為0；
當(dāng)
時(shí), 在
上單調(diào)遞增�！�在最大值為
。
綜上，當(dāng)
時(shí)，即
時(shí)，在區(qū)間上的最大值為2；
當(dāng)
時(shí)，即
時(shí)，在區(qū)間上的最大值為。
（Ⅲ）假設(shè)曲線(xiàn)上存在兩點(diǎn)P、Q滿(mǎn)足題設(shè)要求，則點(diǎn)P、Q只能在軸兩側(cè)。
不妨設(shè)，則，顯然
∵是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，∴
即 （*）若方程（*）有解，存在滿(mǎn)足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q；
若方程（*）無(wú)解，不存在滿(mǎn)足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.
若
，則
代入（*）式得：
即
，而此方程無(wú)解，因此
。此時(shí)
，
代入（*）式得： 
即
（**）
令
，則
∴
在
上單調(diào)遞增， ∵ ∴
,∴
的取值范圍是
。
∴對(duì)于，方程（**）總有解，即方程（*）總有解。
因此，對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線(xiàn)上存在兩點(diǎn)P、Q，使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上
設(shè)橢圓
的左、右頂點(diǎn)分別為
，點(diǎn)
在橢圓上且異于兩點(diǎn)，
為坐標(biāo)原點(diǎn).
（Ⅰ）若直線(xiàn)
與
的斜率之積為
，求橢圓的離心率；
（Ⅱ）若
，證明直線(xiàn)
的斜率
滿(mǎn)足
【解析】(1)解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為
.由題意，有
①
由
，得
，
由
，可得
，代入①并整理得
由于
，故
.于是
，所以橢圓的離心率
（2）證明：（方法一）
依題意，直線(xiàn)OP的方程為
，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.
由條件得
消去
并整理得
②
由
，
及
，
得
.
整理得
.而
，于是
，代入②，
整理得
由
，故
，因此
.
所以
.
(方法二)
依題意，直線(xiàn)OP的方程為，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.
由P在橢圓上，有
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821180638818491/SYS201207182118494193384555_ST.files/image036.png">，
，所以
，即
③
由，，得整理得.
于是，代入③，
整理得
解得，
所以.
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單調(diào)遞減