題目列表(包括答案和解析)
已知
是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，
是等比數(shù)列，且
，
.
（Ⅰ）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記
，
，證明
（）.
【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列
的公差為d，等比數(shù)列
的公比為q.
由
，得
，
，
.
由條件，得方程組
，解得
所以
，
，
.
（2）證明：（方法一）
由（1）得
①
②
由②-①得
而
故
，
（方法二：數(shù)學(xué)歸納法）
① 當(dāng)n=1時(shí)，
，
，故等式成立.
② 假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，即
，則當(dāng)n=k+1時(shí)，有：
即
，因此n=k+1時(shí)等式也成立
由①和②，可知對(duì)任意，成立.
設(shè)橢圓
的左、右頂點(diǎn)分別為
，點(diǎn)
在橢圓上且異于兩點(diǎn)，
為坐標(biāo)原點(diǎn).
（Ⅰ）若直線
與
的斜率之積為
，求橢圓的離心率；
（Ⅱ）若
，證明直線
的斜率
滿足
【解析】(1)解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為
.由題意，有
①
由
，得
，
由
，可得
，代入①并整理得
由于
，故
.于是
，所以橢圓的離心率
（2）證明：（方法一）
依題意，直線OP的方程為
，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.
由條件得
消去
并整理得
②
由
，
及
，
得
.
整理得
.而
，于是
，代入②，
整理得
由
，故
，因此
.
所以
.
(方法二)
依題意，直線OP的方程為，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.
由P在橢圓上，有
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821180638818491/SYS201207182118494193384555_ST.files/image036.png">，
，所以
，即
③
由，，得整理得.
于是，代入③，
整理得
解得，
所以.
如圖，在三棱錐
中，平面
平面
，
，
，
，
為
中點(diǎn)．（Ⅰ）求點(diǎn)B到平面
的距離；（Ⅱ）求二面角
的余弦值．
【解析】第一問中利用因?yàn)?img
src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912243024954937/SYS201207091224587495603078_ST.files/image012.png">，為中點(diǎn)，所以
而平面平面，所以
平面，再由題設(shè)條件知道可以分別以
、
、
為
，
，
軸建立直角坐標(biāo)系得
，
，
，
，
，
，
故平面的法向量
而
，故點(diǎn)B到平面的距離
第二問中，由已知得平面
的法向量
，平面的法向量
故二面角的余弦值等于
解：（Ⅰ）因?yàn)?img
src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912243024954937/SYS201207091224587495603078_ST.files/image012.png">，為中點(diǎn)，所以
而平面平面，所以平面，
再由題設(shè)條件知道可以分別以、、為，，
軸建立直角坐標(biāo)系，得，，，，
，，故平面的法向量
而，故點(diǎn)B到平面的距離
（Ⅱ）由已知得平面的法向量，平面的法向量
故二面角的余弦值等于
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