題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù) 
R)．
（Ⅰ）若 
，求曲線
在點 
處的的切線方程；
（Ⅱ）若 
對任意 
恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運用。
第一問中，利用當(dāng)
時，
．
因為切點為（
），
則
，
所以在點（）處的曲線的切線方程為：
第二問中，由題意得，
即
即可。
Ⅰ）當(dāng)時，．
，
因為切點為（），
則，
所以在點（）處的曲線的切線方程為：． ……5分
（Ⅱ）解法一：由題意得，即． ……9分
（注：凡代入特殊值縮小范圍的均給4分）
，
因為，所以
恒成立，
故
在
上單調(diào)遞增，
……12分
要使
恒成立，則
，解得．……15分
解法二：
……7分
（1）當(dāng)
時，在
上恒成立，
故在上單調(diào)遞增，
即．
……10分
（2）當(dāng)
時，令
，對稱軸
，
則
在上單調(diào)遞增，又
① 當(dāng)
，即
時，
在上恒成立，
所以在單調(diào)遞增，
即，不合題意，舍去
②當(dāng)
時，
，
不合題意，舍去 14分
綜上所述：
若函數(shù)
在定義域內(nèi)存在區(qū)間
，滿足在上的值域為，則稱這樣的函數(shù)為“優(yōu)美函數(shù)”.
（Ⅰ）判斷函數(shù)
是否為“優(yōu)美函數(shù)”？若是，求出
；若不是，說明理由；
（Ⅱ）若函數(shù)
為“優(yōu)美函數(shù)”，求實數(shù)
的取值范圍．
【解析】第一問中，利用定義，判定由題意得
，由
，所以
第二問中， 由題意得方程
有兩實根
設(shè)
所以關(guān)于m的方程
在
有兩實根，
即函數(shù)
與函數(shù)
的圖像在上有兩個不同交點，從而得到t的范圍。
解（I）由題意得，由，所以 （6分）
（II）由題意得方程有兩實根
設(shè)所以關(guān)于m的方程在有兩實根，
即函數(shù)與函數(shù)的圖像在上有兩個不同交點。
已知正數(shù)數(shù)列{an }中，a1 =2.若關(guān)于x的方程
（
）對任意自然數(shù)n都有相等的實根．
(1)求a2 ,a3的值；
(2)求證
【解析】(1)中由題意得△
，即
,進而可得
,.
(2)中由于，所以
，因為
，所以數(shù)列
是以為首項，公比為2的等比數(shù)列，知數(shù)列
是以
為首項，公比為
的等比數(shù)列，利用裂項求和得到不等式的證明。
(1)由題意得△，即,進而可得
(2)由于，所以，因為，所以數(shù)列是以為首項，公比為2的等比數(shù)列，知數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列，于是
,
所以
已知中心在原點，焦點在
軸上的橢圓
的離心率為
，且經(jīng)過點
.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）是否存過點
（2,1）的直線
與橢圓相交于不同的兩點
，滿足
？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．
【解析】第一問利用設(shè)橢圓的方程為
，由題意得
解得
第二問若存在直線滿足條件的方程為
，代入橢圓的方程得
．
因為直線與橢圓相交于不同的兩點，設(shè)兩點的坐標(biāo)分別為
，
所以
所以
．解得。
解：⑴設(shè)橢圓的方程為，由題意得
解得，故橢圓的方程為
．……………………4分
⑵若存在直線滿足條件的方程為，代入橢圓的方程得
．
因為直線與橢圓相交于不同的兩點，設(shè)兩點的坐標(biāo)分別為，
所以
所以．
又
，
因為，即
，
所以
．
即
．
所以
，解得
．
因為A,B為不同的兩點，所以k=1/2．
于是存在直線L1滿足條件，其方程為y=1/2x
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