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令得列表如下(略) 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知函數(shù)的圖象過坐標(biāo)原點(diǎn)O,且在點(diǎn)處的切線的斜率是.

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值； 

（Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值；

（Ⅲ）對任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線上是否存在兩點(diǎn)P、Q，使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上？說明理由.

【解析】第一問當(dāng)時，，則。

依題意得：，即    解得

第二問當(dāng)時，，令得，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和函數(shù)之間的關(guān)系得到單調(diào)性的判定，得到極值和最值

第三問假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求，則點(diǎn)P、Q只能在軸兩側(cè)。

不妨設(shè)，則，顯然

∵是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，∴

即    （*）若方程（*）有解，存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q；

若方程（*）無解，不存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.

（Ⅰ）當(dāng)時，，則。

依題意得：，即    解得

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

①當(dāng)時，，令得

當(dāng)變化時，的變化情況如下表：

0

—

0

+

0

—

單調(diào)遞減

極小值

單調(diào)遞增

極大值

單調(diào)遞減

又，，。∴在上的最大值為2.

②當(dāng)時, .當(dāng)時, ,最大值為0；

當(dāng)時, 在上單調(diào)遞增�！�在最大值為。

綜上，當(dāng)時，即時，在區(qū)間上的最大值為2；

當(dāng)時，即時，在區(qū)間上的最大值為。

（Ⅲ）假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求，則點(diǎn)P、Q只能在軸兩側(cè)。

不妨設(shè)，則，顯然

∵是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，∴

即    （*）若方程（*）有解，存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q；

若方程（*）無解，不存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.

若，則代入（*）式得：

即，而此方程無解，因此。此時，

代入（*）式得：    即   （**）

令 ，則

∴在上單調(diào)遞增，  ∵     ∴,∴的取值范圍是。

∴對于，方程（**）總有解，即方程（*）總有解。

因此，對任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線上存在兩點(diǎn)P、Q，使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上

 

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探究函數(shù)f(x)=x+
4
x
，x∈(-∞，0)的最大值，并確定取得最大值時x的值．列表如下：
x … -0.5 -1 -1.5 -1.7 -1.9 -2 -2.1 -2.2 -2.3 -3 …
y … -8.5 -5 -4.17 -4.05 -4.005 -4 -4.005 -4.02 -4.04 -4.3 …
請觀察表中y值隨x值變化的特點(diǎn)，完成以下的問題．
（1）函數(shù)f(x)=x+
4
x
，x∈(-∞，0)在區(qū)間
 
上為單調(diào)遞增函數(shù)．當(dāng)x=
 
時，f（x）最大=
 
．
（2）證明：函數(shù)f(x)=x+
4
x
在區(qū)間（-2，0）為單調(diào)遞減函數(shù)．
（3）思考：函數(shù)f(x)=x+
4
x
(x＞0)有最大值或最小值嗎？如有，是多少？此時x為何值？（直接回答結(jié)果，不需證明）．

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（2013•鄭州二模）每年的三月十二日，是中國的植樹節(jié)，林管部門在植樹前，為保證樹苗的質(zhì)量，都會在植樹前對樹苗進(jìn)行檢測．現(xiàn)從甲、乙兩批樹苗中各抽測了10株樹苗的高度，規(guī)定高于128厘米的為“良種樹苗”，測得高度如下（單位：厘米）
甲：137，121，131，120，129，119，132，123，125，133
乙：110，130，147，127，146，114，126，110，144，146
（Ⅰ）根據(jù)抽測結(jié)果，完成答題卷中的莖葉圖，并根據(jù)你填寫的莖葉圖，對甲、乙兩批樹苗的高度作比較，寫出對兩種樹苗高度的統(tǒng)計(jì)結(jié)論；
（Ⅱ）設(shè)抽測的10株甲種樹苗高度平均值為
.
x
，將這10株樹苗的高度依次輸入按程序框圖進(jìn)行運(yùn)算，
（如圖）問輸出的S大小為多少？并說明S的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義．

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已知函數(shù)f(x)=
4x
x2+a
．請完成以下任務(wù)：
（Ⅰ）探究a=1時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上的最大值．為此，我們列表如下
x 0 0.1 0.2 0.5 0.8 1 1.2 1.5 1.8 2 4 6 …
y 0 0.396 0.769 1.6 1.951 2 1.967 1.846 1.698 1.6 0.941 0.649 …
請觀察表中y值隨x值變化的特點(diǎn)，解答以下兩個問題．
（1）寫出函數(shù)f（x），在[0，+∞）上的單調(diào)區(qū)間；指出在各個區(qū)間上的單調(diào)性，并對其中一個區(qū)間的單調(diào)性用定義加以證明．
（2）請回答：當(dāng)x取何值時f（x）取得最大值，f（x）的最大值是多少？
（Ⅱ）按以下兩個步驟研究a=1時，函數(shù)f(x)=
4x
x2+a
，(x∈R)的值域．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）結(jié)合已知和以上研究，畫出函數(shù)f（x）的大致圖象，指出函數(shù)的值域．
（Ⅲ）己知a=-1，f（x）的定義域?yàn)椋?1，1），解不等式f(4-3x)+f(x-
3
2
)＞0．

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探究函數(shù)f（x）=x2+
2
x
(x＞0)的最小值，并確定取得最小值時x的值．列表如下，請觀察表中y值隨x值變化的特點(diǎn)，完成以下的問題．
x … 0.25 0.5 0.75 1 1.1 1.2 1.5 2 3 5 …
y … 8.063 4.25 3.229 3 3.028 3.081 3.583 5 9.667 25.4 …
已知：函數(shù)f（x）=x2+
2
x
(x＞0)在區(qū)間（0，1）上遞減，問：
（1）函數(shù)f（x）=x2+
2
x
(x＞0)在區(qū)間
[1，+∞）
[1，+∞）
上遞增．當(dāng)x=
1
1
時，y最小=
3
3
；
（2）函數(shù)g(x)=9x2+
2
3|x|
在定義域內(nèi)有最大值或最小值嗎？如有，是多少？此時x為何值？（直接回答結(jié)果，不需證明）

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