題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù)
的圖象過坐標(biāo)原點O,且在點
處的切線的斜率是
.
（Ⅰ）求實數(shù)
的值；
（Ⅱ）求
在區(qū)間
上的最大值；
（Ⅲ）對任意給定的正實數(shù)
，曲線
上是否存在兩點P、Q，使得
是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在
軸上？說明理由.
【解析】第一問當(dāng)
時，
，則
。
依題意得：
，即
解得
第二問當(dāng)
時，
，令
得
，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和函數(shù)之間的關(guān)系得到單調(diào)性的判定，得到極值和最值
第三問假設(shè)曲線上存在兩點P、Q滿足題設(shè)要求，則點P、Q只能在軸兩側(cè)。
不妨設(shè)
，則
，顯然
∵是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，∴
即
（*）若方程（*）有解，存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q；
若方程（*）無解，不存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q.
（Ⅰ）當(dāng)時，，則。
依題意得：，即 解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
①當(dāng)時，，令得
當(dāng)
變化時，
的變化情況如下表：
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
— |
0 |
+ |
0 |
— |
|
|
|
極小值 |
單調(diào)遞增 |
極大值 |
|
又
，
，
�！�在
上的最大值為2.
②當(dāng)
時, 
.當(dāng)
時, 
,最大值為0；
當(dāng)
時, 在
上單調(diào)遞增。∴在最大值為
。
綜上，當(dāng)
時，即
時，在區(qū)間上的最大值為2；
當(dāng)
時，即
時，在區(qū)間上的最大值為。
（Ⅲ）假設(shè)曲線上存在兩點P、Q滿足題設(shè)要求，則點P、Q只能在軸兩側(cè)。
不妨設(shè)，則，顯然
∵是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，∴
即 （*）若方程（*）有解，存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q；
若方程（*）無解，不存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q.
若
，則
代入（*）式得：
即
，而此方程無解，因此
。此時
，
代入（*）式得： 
即
（**）
令
，則
∴
在
上單調(diào)遞增， ∵ ∴
,∴
的取值范圍是
。
∴對于，方程（**）總有解，即方程（*）總有解。
因此，對任意給定的正實數(shù)，曲線上存在兩點P、Q，使得是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上
已知命題： P：對任意
,不等式
恒成立；
q：函數(shù)
存在極大值和極小值。
求使命題“p且
q”為真命題的m的取值范圍。
,不等式
恒成立；
存在極大值和極小值。
q”為真命題的m的取值范圍。
恒成立；
q”為真命題的m的取值范圍。 一、選擇題：
1―5：ACCCB 6―10：CDACD 11―12：BC
二、填空題：
13．2 14．
15．5
16．①
②球的體積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于球的表面積函數(shù)
三、解答題：
17．（本小題滿分12分）
解：（I）
……………………2分
……………………4分
……………………………………………………………………5分
（II）
、B均為銳角且B<A
又C為鈍角
∴最短邊為b……………………………………………………7分
由
，解得
………………………………9分
又
…………………………12分
18．（本小題滿分12分）
解：（I）
………………………………3分
故
…………………………………………………4分
（II）令
.
若
時，當(dāng)
時，函數(shù)
…………………………………………………………6分
若
時，當(dāng)
時，函數(shù)
…………………………………………………………8分
（III）由
確定
單調(diào)遞增的正值區(qū)間是
；
由
確定單調(diào)遞減的正值區(qū)間是
；………10分
綜上，當(dāng)時，函數(shù)
的單調(diào)遞增區(qū)間為
.
當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為
.……12分
注：①
的這些
等價形式中，以
最好用. 因為復(fù)合函數(shù)
的中間變量
是增函數(shù)，對求的單調(diào)區(qū)間來說，
只看外層函數(shù)
的單調(diào)性即可.否則，利用的其它形
式，例如
求單調(diào)區(qū)間是非常容易出錯的. 同學(xué)們可以嘗試做一
下的其它形式，認(rèn)真體會，比較優(yōu)劣！
②今后遇到求類似的單調(diào)區(qū)間問題，應(yīng)首先通過誘導(dǎo)公式將轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形
式：
（其中A>0，ω>0），然后再行求
解，保險系數(shù)就大了.
19．（本小題滿分12分）
解：（I）由已知
……………………1分
…………3分
由已知
∴公差d=1…………………………………………………………4分
……………………………………………………6分
（II）設(shè)
…………………………7分
當(dāng)
時，
是k的增函數(shù)，
也是k的增函數(shù).
………………………………10分
又
不存在
，使
…………………………………12分
20．（本小題滿分12分）
解：
恒成立
只需
小于
的最小值…………………………………………2分
而當(dāng)
時，≥3……………………………………………4分
……………………………………………………6分
存在極大值與極小值
有兩個不等的實根…………………………8分
或
…………………………………………………………10分
要使“P且
Q”為真，只需
故m的取值范圍為[2，6].…………………………………………………12分
21．（本小題滿分12分）
解：設(shè)此工廠應(yīng)分別生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品x噸、y噸，獲得利潤z萬元………1分
依題意可得約束條件：
|
單調(diào)遞減
…………（7分） 
，把直線l向右上方平移至l1位置，直線經(jīng)過可行域上的點M，且與原點距離最大，此時
，得M（20，24）
……………………6分
是以
為首項，
………………10分
①
②
………………14分