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設是一常數.過點的直線與拋物線交于相異兩點A.B.以線段AB為直經作圓H.試證拋物線頂點在圓H的圓周上,并求圓H的面積最小時直線AB的方程. Y y2=2px B X QO A 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

（04年重慶卷）（12分）

設是一常數，過點的直線與拋物線交于相異兩點A、B，以線段AB為直經作圓H（H為圓心）試證拋物線頂點在圓H的圓周上；并求圓H的面積最小時直線AB的方程

 

 

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精英家教網設p＞0是一常數，過點Q（2p，0）的直線與拋物線y2=2px交于相異兩點A、B，以線段AB為直經作圓H（H為圓心）．試證拋物線頂點在圓H的圓周上；并求圓H的面積最小時直線AB的方程．

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設p＞0是一常數，過點Q（2p，0）的直線與拋物線y2=2px交于相異兩點A、B，以線段AB為直經作圓H（H為圓心），試證拋物線頂點在圓H的圓周上；并求圓H的面積最小時直線AB的方程。

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設p＞0是一常數，過點Q（2p，0）的直線與拋物線y2=2px交于相異兩點A、B，以線段AB為直經作圓H（H為圓心）．試證拋物線頂點在圓H的圓周上；并求圓H的面積最小時直線AB的方程．

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設p＞0是一常數，過點Q（2p，0）的直線與拋物線y2=2px交于相異兩點A、B，以線段AB為直經作圓H（H為圓心）．試證拋物線頂點在圓H的圓周上；并求圓H的面積最小時直線AB的方程．

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一、選擇題：每小題5分，共60分.

（1）D     （2）A     （3）D      （4）A     （5）B      （6）C 

（7）C     （8）C     （9）B      （10）B    （11）D      （12）D

二、填空題：每小題4分，共16分.

（13）－2   （14）   （15）   （16）[－1，3]

三、解答題：共74分.

（17）（本小題12分）

解：

     

故該函數的最小正周期是；最小值是－2；

單增區(qū)間是[]，

（18）（本小題12分）

      解：（I）的所有可能值為0，1，2，3，4

             用AK表示“汽車通過第k個路口時不停（遇綠燈）”，

則P（AK）=獨立.

故

 

從而有分布列：

 

            0     1       2        3        4

 

    P                          

            

             （II）

             答：停車時最多已通過3個路口的概率為.

    1. 
   
      
    
    
      
    
         （I）證明：因PA⊥底面，有PA⊥AB，又知AB⊥AD，
      故AB⊥面PAD，推得BA⊥AE，
      又AM∥CD∥EF，且AM=EF，
      證得AEFM是矩形，故AM⊥MF.
      又因AE⊥PD，AE⊥CD，故AE⊥面PCD，
      而MF∥AE，得MF⊥面PCD，
      故MF⊥PC，
      因此MF是AB與PC的公垂線.
            （II）解：連結BD交AC于O，連結BE，過O作BE的垂線OH，
              垂足H在BE上.
                     易知PD⊥面MAE，故DE⊥BE，
                     又OH⊥BE，故OH//DE，
                     因此OH⊥面MAE.
                     連結AH，則∠HAO是所要求的線AC與面NAE所成的角  
                     設AB=a，則PA=3a， .
                     因Rt△ADE~Rt△PDA，故
                     
                     
      （20）（本小題12分）
            解：（I）
            

                   因此是極大值點，是極小值點.
                   （II）因
              
                   又由（I）知
                   
                   代入前面不等式，兩邊除以（1+a），并化簡得
              
      （21）（本小題12分）
         解法一：由題意，直線AB不能是水平線，  故可設直線方程為：.
         又設，則其坐標滿足
      


      <center id="ba9yu"><tr id="ba9yu"></tr></center>
      
 
      
  
  
      
   
      
    
    
      
    
            由此得   
            
            因此.
            故O必在圓H的圓周上.
            又由題意圓心H（）是AB的中點，故
            
            由前已證，OH應是圓H的半徑，且.
            從而當k=0時，圓H的半徑最小，亦使圓H的面積最小.
            此時，直線AB的方程為：x=2p.
            解法二：由題意，直線AB不能是水平線，故可設直線方程為：ky=x－2p
            又設，則其坐標滿足
         分別消去x，y得
            故得A、B所在圓的方程
            明顯地，O（0，0）滿足上面方程所表示的圓上，
            又知A、B中點H的坐標為
            故 
            而前面圓的方程可表示為
            故|OH|為上面圓的半徑R，從而以AB為直徑的圓必過點O（0，0）.
            又，
            故當k=0時，R2最小，從而圓的面積最小，此時直線AB的方程為：x=2p.
            解法三：同解法一得O必在圓H的圓周上
            又直徑|AB|=
            上式當時，等號成立，直徑|AB|最小，從而圓面積最小.
            此時直線AB的方程為x=2p.
      （22）（本小題14分）
            （I）證法一：當不等式成立.
                       
                       綜上由數學歸納法可知，對一切正整數成立.
                       證法二：當n=1時，.結論成立.
                       假設n=k時結論成立，即

                       當的單增性和歸納假設有
                       
                       所以當n=k+1時，結論成立.
                       因此，對一切正整數n均成立.
                       證法三：由遞推公式得 
                       
                       上述各式相加并化簡得  
                       
            （II）解法一：
              

                       解法二：
      


      
 
      
  
  
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        I
                         解法三：
                                 

                         故.